ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 1. Тензор деформации

Механика твердых тел, рассматриваемых как сплошные среды, составляет содержание теории упругости

Под влиянием приложенных сил твердые тела в той или иной степени деформируются, т. е. меняют свою форму и объем. Для математического описания деформации тела поступают следующим образом. Положение каждой точки тела определяется ее радиус-вектором (с компонентами в некоторой системе координат. При деформировании тела все его точки, вообще говоря, смещаются. Рассмотрим какую-нибудь определенную точку тела; если ее радиус-вектор до деформирования был , то в деформированном теле он будет иметь некоторое другое значение (с компонентами ). Смещение точки тела при деформировании изобразится тогда вектором , который мы обозначим посредством и:

Вектор и называют вектором деформации (или вектором смещения). Координаты смещенной точки являются, конечно, функциями от координат той же точки до ее смещения. Поэтому и вектор деформации является функцией координат Задание вектора и как функции от полностью определяет деформацию тела.

При деформировании тела меняются расстояния между его точками. Рассмотрим какие-нибудь две бесконечно близкие точки. Если радиус-вектор между ними до деформирования был то в деформированном теле радиус-вектор между теми же двумя точками будет . Само расстояние между точками было равно до деформирования

а после деформирования

Согласно общему правилу написания сумм можно написать:

Подставив переписываем в виде

Поскольку во втором члене оба индекса i и k являются немыми, их можно переставить и соответственно записать этот член в явно симметричном виде

В третьем же члене поменяем местами индексы t и l. Тогда мы получим окончательно в виде

где

Этими выражениями определяется изменение элемента длины при деформировании тела. Тензор называют тензором деформации; по своему определению он симметричен:

Как и всякий симметричный тензор, можно привести тензор в каждой данной точке к главным осям. Это значит, что в каждой данной точке можно выбрать такую систему координат — главные оси тензора, — в которой из всех компонент отличны от нуля только диагональные компоненты Эти компоненты — главные значения тензора деформации — обозначим посредством Надо, конечно, помнить, что если тензор приведен к главным осям в некоторой точке тела, то он, вообще говоря, недиагонален во всех других точках.

Если тензор деформации приведен в данной точке к главным осям, то в окружающем ее элементе объема элемент длины (1,2) приобретает вид

Мы видим, что это выражение распадается на три независимых члена. Это значит, что в каждом элементе объема тела деформацию можно рассматривать как совокупность трех независимых деформаций по трем взаимно перпендикулярным направлениям — главным осям тензора деформации.

Каждая из этих деформаций представляет собой простое, растяжение (или сжатие) вдоль соответствующего направления: длина вдоль первой из главных осей превращается в длину

и аналогично для двух других осей. Величины

представляют собой, следовательно, относительные удлинения вдоль этих осей.

Практически почти во всех случаях деформирования тел деформации оказываются малыми. Это значит, что изменение любого расстояния в теле оказывается малым по сравнению с самим расстоянием. Другими словами, относительные удлинения малы по сравнению с единицей. Ниже мы будем рассматривать все деформации как малые.

Если тело подвергается малой деформации, то все компоненты тензора деформации, определяющего, как мы видели, относительные изменения длин в теле, являются малыми. Что же касается вектора деформации, то он может быть в некоторых случаях большим даже при малых деформациях. Рассмотрим, например, длинный тонкий стержень. Даже при сильном изгибе, когда его концы значительно переместятся в пространстве, растяжения и сжатия внутри самого стержня будут незначительными.

За исключением таких особых случаев 1), при малых деформациях является малым также и вектор деформации. Действительно, никакое «трехмерное» тело (т. е. тело, размеры которого не специально малы ни в каком направлении) не может быть, очевидно, деформировано так, чтобы отдельные его части сильно переместились в пространстве, без возникновения в теле сильных растяжений и сжатий.

Тонкие стержни будут нами, рассмотрены отдельно в главе II. В остальных же случаях, следовательно, при малых деформациях смещения а с ними и их производные по координатам, малы. Поэтому в общем выражении (1,3) можно пренебречь последним членом как малой величиной второго порядка. Таким образом, в случае малых деформаций тензор деформации определяется выражением

Относительные удлинения элементов длины вдоль направлений главных осей тензора деформации (в данной точке) равны теперь с точностью до величин высших порядков

т. е. непосредственно главным значениям тензора и

Рассмотрим какой-нибудь бесконечно малый элемент объема и определим его величину после деформирования тела. Для этого выберем в качестве осей координат главные оси тензора деформации в рассматриваемой точке. Тогда элементы длины вдоль этих осей после деформирования перейдут в и т. д. Объем есть произведение объем же равен Таким образом,

Пренебрегая величинами высших порядков малости, находим отсюда

Но сумма главных значений тензора есть, как известно, его инвариант и равна в любой системе координат сумме диагональных компонент

Таким образом,

Мы видим, что сумма диагональных компонент тензора деформации дает относительное изменение объема

Часто бывает удобным пользоваться компонентами тензора деформации не в декартовых, а в сферических или цилиндрических координатах. Приведем здесь для справок соответствующие формулы, выражающие эти компоненты через производные от компонент вектора смещения в тех же координатах. В сферических координатах имеем

В цилиндрических координатах