§ 35. Очень вязкие жидкости

Для типичных жидкостей уравнения Навье—Стокса применимы до тех пор, пока периоды движения велики по сравнению с молекулярными временами. Это, однако, не относится к очень вязким жидкостям. Для таких жидкостей обычные гидродинамические уравнения становятся неприменимыми уже при гораздо больших периодах движения. Существуют вязкие жидкости, которые в течение достаточно малых (но в то же время больших по сравнению с молекулярными) промежутков времени ведут себя, как твердые тела (например, глицерин, канифоль). Аморфные твердые тела (например, стекло) можно рассматривать как предельный случай таких жидкостей с весьма большой вязкостью.

Свойства этих жидкостей могут быть описаны следующим способом (предложенным Максвеллом). В течение малых промежутков времени они упруго деформируются. После прекращения деформации в них остаются напряжения сдвига, затухающие, однако, со временем, так что по истечении достаточно большого промежутка времени никаких внутренних напряжений в жидкости практически не остается. Пусть есть порядок величины времени, в течение которого происходит затухание напряжений ( называют иногда максвелловским временем релаксации). Предположим, что жидкость подвергается воздействию некоторых переменных внешних сил, периодически меняющихся со временем с частотой . Если период изменения сил велик по сравнению с временем релаксации , т. е. то рассматриваемая жидкость будет вести себя, как обычная вязкая жидкость. Напротив, при достаточно больших частотах (когда жидкость будет вести себя, как аморфное твердое тело.

Соответственно таким «промежуточным» свойствам рассматриваемых жидкостей их можно характеризовать одновременно коэффициентом вязкости и некоторым «модулем сдвига» . Легко получить соотношение, связывающее друг с другом порядки величин , и времени релаксации . При воздействии периодических сил с достаточно малой частотой, когда жидкость ведет себя, как обычная, тензор напряжений определяется обычным выражением для вязких напряжений в жидкости, т. е.

В обратном предельном случае больших частот жидкость ведет себя, как твердое тело, и внутренние напряжения должны определяться по формулам теории упругости, т. е. (речь идет все время о «деформациях чистого сдвига», так что предполагается, что ). При частотах порядка напряжения, определяющиеся этими двумя выражениями, должны совпадать по порядку величины. Таким образом, имеем откуда

Это и есть искомое соотношение.

Выведем, наконец, уравнение движения, качественно описывающее поведение рассматриваемых жидкостей. Для этого будем исходить из наиболее простого предположения о законе затухания внутренних напряжений (после прекращения движения); именно, будем считать, что оно происходит по простому экспоненциальному закону, чему соответствует уравнение

С другой стороны, в твердом теле было бы и потому

Легко видеть, что уравнение

приводит к правильным результатам в обоих предельных случаях медленных и быстрых движений, а потому может служить интерполяционным уравнением для промежуточных случаев.

Так, для периодического движения, когда зависят от времени посредством множителя имеем из (35,2)

откуда

При эта формула дает , т. е. обычное выражение для твердых тел, а при

— обычное выражение для жидкости с вязкостью