ГЛАВА IV. ДИСЛОКАЦИИ

§ 27. Упругие деформации при наличии дислокации

Упругие деформации в кристалле могут быть связаны не только g воздействием на него внешних сил, но и с наличием в нем внутренних дефектов структуры. Основным видом таких дефектов, существенных для механических свойств кристаллов, являются так называемые дислокации. Изучение свойств дислокаций с атомарной, микроскопической точки зрения не входит, разумеется, в план этой книги; мы рассмотрим здесь лишь чисто макроскопические аспекты этого явления с точки зрения теории упругости. Однако для лучшего уяснения физического смысла излагаемых соотношений предварительно напомним на двух простых примерах, в чем заключается характер дислокационных дефектов с точки зрения структуры кристаллической решетки.

Представим себе, что в кристаллическую решетку (разрез которой изображен на рис. 22) вдвинута «лишняя» кристаллическая полуплоскость (совпадающая на рисунке с верхней полуплоскостью ).

Рис. 22

Линия края этой полуплоскости (перпендикулярная плоскости рисунка ось ) называется в этом случае краевой дислокацией. Искажение структуры решетки в непосредственной близости к дислокации велико, но уже на расстояниях порядка нескольких периодов кристаллические плоскости смыкаются друг с другом почти правильным образом. Деформация существует, однако, и вдали от дислокации. Она ясно обнаруживается при обходе в плоскости х, у по узлам решетки вдоль замкнутого контура вокруг начала координат: если определять вектором и смещение каждого узла от его положения в идеальной решетке, то полное приращение этого вектора при обходе будет отлично от нуля и равно одному периоду вдоль оси х.

Другой тип дислокации можно наглядно представить себе как результат «разреза» решетки по полуплоскости, после чего части решетки по обе стороны разреза сдвигаются относительно друг друга на один период параллельно краю разреза (который называется в этом случае винтовой дислокацией).

Наличие такой дислокации превращает кристаллические плоскости в решетке в геликоидальную поверхность (подобную винтовой лестнице без ступенек). При полном обходе вокруг линии дислокаций (ось геликоидальной поверхности) вектор смещения узлов получает приращение на один период параллельно этой оси. На рис. 23 изображена схема описанного разреза.

Рис. 23

Рис. 24

С макроскопической точки зрения дислокационная деформация кристалла как сплошной среды обладает в общем случае следующим свойством при обходе по любому замкнутому контуру L, охватывающему линию дислокации D, вектор упругого смещения и получает определенное конечное приращение b, равное (по величине и направлению) одному из периодов решетки; постоянный вектор b называется вектором Бюргерса данной дислокации. Это свойство записывается в виде

причем принимается, что направление обхода контура связано правилом винта с выбранным направлением вектора касательной к линии дислокации (рис. 24). Сама линия дислокации является при этом линией особых точек поля деформации.

Упомянутым выше простым случаям краевой и винтовой дислокаций отвечают прямые линии D, вдоль которых или . Отметим также, что в изображенной на рис. 22 наглядной картине краевые дислокации с противоположными направлениями b различаются тем, что «лишняя» кристаллическая полуплоскость лежит сверху или снизу от плоскости х, у (о таких дислокациях говорят как о различающихся по знаку).

В общем случае дислокация является кривой линией, вдоль которой угол между меняется. Самый же вектор Бюргерса b неизбежно постоянен вдоль всей линии дислокации.

Очевидно также, что линия дислокации не может просто окончиться внутри кристалла ниже примечание на стр. 152). Она должна выходить обоими концами на поверхность кристалла либо (как это обычно и бывает в реальных условиях) представлять собой замкнутую петлю.

Условие (27,1) означает, другими словами, что при наличии дислокации вектор смещения является неоднозначной функцией координат, получающей заданное приращение при обходе вокруг линии дислокации. Физически, разумеется, никакой неоднозначности нет: приращение b означает дополнительное смещение точек решетки на один из периодов, что вообще не меняет ее состояния. В частности, тензор напряжений характеризующий упругое состояние кристалла, является однозначной и непрерывной функцией координат.

Для дальнейшего будет удобным ввести обозначение

с помощью которого условие (27,1) записывается в виде

Тензор (несимметричный) принято называть тензором дисторсии. Его симметричная часть дает обычный тензор деформации

Тензоры — однозначные функции координат, в противоположность неоднозначной функции .

Условие (27,3) можно записать и в дифференциальном виде. Для этого преобразуем интеграл по контуру L в интеграл по какой-либо поверхности , опирающейся на этот контур

Поскольку тензор антисимметричен по индексам , а тензор симметричен по этим же индексам, то подынтегральное выражение тождественно равно нулю везде, за исключением точки пересечения линии D с поверхностью S, на самой линии дислокации, как линии особых точек, представление в виде производных (27,2) теряет смысл.

В этих точках величины надо определить с помощью соответствующей -функции так, чтобы интеграл (27,5) приобрел требуемое значение Пусть — двухмерный радиус-вектор, отсчитываемый от оси дислокации в данной ее точке в плоскости, перпендикулярной вектору т. Элемент площади этой плоскости выражается через элемент поверхности SL как . По определению двумерной -функции (1) имеем

Ясно поэтому, что для достижения поставленной цели надо положить

Это и есть искомая дифференциальная завись условия (27,3).

Поле смещений вокруг дислокации может быть выражено в общем виде, если известен тензор Грина уравнений равновесия данной анизотропной среды, т. е. функция, определяющая смещение созданное в неограниченной среде сосредоточенной в начале координат единичной силой, направленной вдоль оси (см. § 8). Это легко сделать с помощью следующего формального приема.

Вместо того чтобы искать неоднозначные решения уравнений равновесия, будем рассматривать как однозначную функцию, условившись, что она испытывает заданный скачок b на некоторой произвольно выбранной поверхности SD, опирающейся на дислокационную петлю D. Если — значения функции соответственно на верхнем и нижнем берегах разрыва то

(«Верхний» и «нижний» берега определены на рис. 24. Нормаль к поверхности SD, направленная по отношению к указанным на рисунке образом, дает направление от нижнего берега к верхнему). Интегрирование по контуру L от верхнего берега к нижнему дает тогда результат (27,3) с правильным знаком. Тензоры , формально определенные согласно (27,3-4), будут иметь на «поверхности разрыва» -образную особенность:

где — координата, отсчитываемая от поверхности SD вдоль нормали , где — элемент длины контура

Поскольку никакой физической особенности в среде вокруг дислокации в действительности нет, то тензор напряжений как уже было указано, должен быть однозначной везде непрерывной функцией. Между тем с тензором деформации (27,8) формально связан тензор напряжений

тоже имеющий особенность на поверхности SD. Для того чтобы исключить его, надо ввести фиктивные объемные силы, распределенные вдоль поверхности SD с определенной плотностью Уравнения равновесия при наличии объемных сил имеют вид

Отсюда ясно, что надо положить

Таким образом, задача об отыскании неоднозначной функции эквивалентна задаче об отыскании однозначной, но разрывной функции при наличии объемных сил, определяемых формулами (27,8-9). Теперь можно воспользоваться формулой

Подставив сюда (27,8) производим интегрирование по частям; интеграл по бесконечно удаленной поверхности исчезает, а в оставшемся интеграле по объему -функция устраняется тривиальным образом. Заметив также, что получим окончательно

(27,10)

Тем самым поставленная задача решена.

Наиболее простой вид деформация (27,10) имеет вдали от замкнутой дислокационной петли. Если представлять себе петлю расположенной вблизи начала координат, то на больших (по сравнению с ее линейными размерами) расстояниях в производной можно положить и вынести ее за знак интеграла. Тогда получим

(27,11)

где

(27,12)

Компоненты аксиального вектора S равны площадям, ограниченным проекциями петли D на плоскости, перпендикулярные соответствующим координатным осям; тензор естественно назвать тензором дислокационного момента. Компоненты тензора являются однородными функциями первого порядка от координат (см. с. 44). Поэтому из (27,11) видно, что Соответствующее же поле напряжений

Легко выяснить также характер зависимости от расстояния упругих напряжений вокруг прямолинейной дислокации. В цилиндрических координатах (с осью z вдоль линии дислокации) деформация будет зависеть только от и Интеграл (27,3) не должен меняться, в частности, при произвольном подобном изменении размеров любого контура в плоскости х, у. Очевидно, что это возможно, лишь если все . Той же степени будет пропорционален и тензор а с ним и напряжения

Хотя до сих пор мы говорили только о дислокациях» но полученные формулы применимы также и к деформациям, вызываемым другого рода дефектами кристаллической структуры. Дислокации — линейные дефекты структуры. Наряду с ними существуют дефекты, в которых нарушение правильной структуры распространяется по области вблизи некоторой поверхности 2). С макроскопической точки зрения такой дефект может быть описан как поверхность разрыва, на которой вектор смещения и испытывает скачок (напряжения же остаются непрерывными в силу условий равновесия). Если на всей поверхности величина b скачка одинакова, то в отношении создаваемых им деформаций такой разрыв ничем не отличается от дислокации (расположенной вдоль его края). Разница состоит лишь в том, что вектор b не равен периоду решетки. Положение же поверхности SD, о которой была речь выше, перестает быть произвольным и должно совпадать с фактическим расположением физического разрыва. С такой поверхностью разрыва связана определенная дополнительная энергия, что может быть описано путем введения соответствующего коэффициента поверхностного натяжения.