§ 19. Уравнения равновесия стержней

Мы можем теперь перейти к выводу уравнений равновесия изогнутых стержней. Рассмотрим опять какой-нибудь из бесконечно малых элементов стержня, вырезанный двумя бесконечно близкими сечениями, и вычислим, полную действующую на него силу. Обозначим силу внутренних напряжений, приложенную к площади сечения стержня, посредством Компоненты этого вектора равны интегралам от по площади сечения:

Если рассматривать два бесконечно близких сечения как поверхности оснований вырезаемого ими элемента стержня, то на верхнее основание действует сила а на нижнее — сила — F; их сумма есть дифференциал Пусть далее К есть действующая на стержень внешняя сила, отнесенная к единице его длины. Тогда на элемент длины действует внешняя сила Равнодействующая всех сил, действующих на этот элемент, есть, следовательно, В равновесии эта сила должна обращаться в нуль. Таким образом, получаем

Второе уравнение получается из условия равенства нулю полного момента сил, приложенных к данному элементу. Пусть М есть момент сил внутренних напряжений, действующих на площадь сечения стержня.

Этот момент берется относительно точки (начала координат), лежащей в самой плоскости этого сечения; его компоненты определяются формулами (18,6). Будем вычислять суммарный момент, приложенный к данному элементу стержня, относительно точки (назовем ее точкой О), лежащей в плоскости его верхнего основания. Тогда внутренние напряжения на этом основании дают момент Момент же (относительно О) сил внутренних напряжений в нижнем основании элемента складывается из момента — М этих сил относительно качала координат в плоскости нижнего основания (точка О) и момента (относительно О) суммарной силы — F, действующей на этом основании. Этот второй момент равен где — вектор элемента длины стержня от к . Момент же, обусловленный внешними силами К, является малой величиной высшего порядка. Таким образом, полный действующий на элемент стержня момент сил есть . В равновесии он должен быть равным нулю:

Разделив это равенство на и замечая, что есть единичный вектор касательной к стержню (рассматриваемому как линия), получаем уравнение

Уравнения (19,2) и (19,3) представляют собой полную систему уравнений равновесия произвольным образом изогнутого стержня.

Если действующие на стержень внешние силы являются, как говорят, сосредоточенными, т. е. приложены только к отдельным изолированным его точкам, то на участках стержня между точками приложения сил уравнения равновесия заметно упрощаются. Из (19,2) имеем при

(19,4)

т. е. силы внутренних напряжений постоянны вдоль длины каждого из указанных участков стержня. Значения этих постоянных определяются тем, что разность значений силы в точках 1 и 2 равна

где сумма берется по всем силам, приложенным к отрезку стержня между точками и 2. Обращаем внимание на то, что в разности точка 2 является более удаленной от начала отсчета длины стержня (т. е. длины дуги ), чем точка 1; это замечание существенно при определении знаков в равенстве (19,5). В частности, если на стержень действует всего одна сосредоточенная сила f, приложенная к его свободному концу, то F постоянно вдоль всей длины стержня и равно

Второе уравнение равновесия (19,3) тоже упрощается. Написав в нем (где — радиус-вектор от некоторой заданной точки к произвольной точке стержня) и интегрируя, получаем ввиду постоянства

(19,6)

Если же отсутствуют также и сосредоточенные силы, а изгиб стержня происходит под действием приложенных к нему сосредоточенных моментов (т. е. сосредоточенных пар сил), то вдоль всей длины стержня, а М испытывает в точках приложения сосредоточенных пар скачки, равные их моментам.

Обратимся, далее, к вопросу о граничных условиях на концах изгибаемого стержня. Здесь могут представиться различные случаи.

Конец стержня называют заделанным (рис. 4, а см. с. 66), если он не может испытывать никаких смещений — ни продольных, ни поперечных, и, сверх того, не может измениться его направление (т. е. направление касательной к стержню в его конце). В этом случае граничные условия заключаются в том, что задаются координаты конца стержня и единичный вектор касательной t к нему. Сила же и момент сил реакции, действующие на стержень со стороны опоры в точке закрепления, определяются в результате решения уравнений.

Противоположным является случай свободного конца стержня. В этом случае координаты конца и его направление произвольны. Граничные условия заключаются в том, что сила F и момент сил М на конце стержня должны обратиться в нуль.

Если конец стержня закреплен на шарнире, то он не может испытывать никаких смещений, но его направление не задано. Момент сил, действующих на такой свободно поворачивающийся конец, должен исчезать.

Наконец, если стержень оперт в некоторой точке опоры (рис. 4, б), то он может скользить по этой точке, но не может испытывать в ней поперечных смещений. В этом случае незаданными являются направление t и положение точки, в которой опирается стержень, по его длине. Момент сил в точке опоры должен быть равным нулю соответственно тому, что стержень может свободно поворачиваться, а сила F в этой точке должна быть перпендикулярна к стержню; продольная компонента силы вызвала бы дальнейшее его скольжение в точке опоры.

Аналогичным образом легко установить граничные условия и при других способах закрепления стержня. Мы не будем останавливаться здесь на этом, ограничившись приведенными типичными примерами.

Уже в начале предыдущего параграфа было отмечено, что сильный изгиб стержня произвольного сечения сопровождается, вообще говоря, одновременным его кручением, даже если к стержню не прилагается никаких внешних крутящих моментов. Исключением является изгиб стержня в его главных плоскостях. При таком изгибе кручение не возникает. У стержня кругового сечения никакой изгиб не сопровождается кручением (если, конечно, нет внешних крутящих моментов). В этом можно убедиться следующим образом. Кручение определяется компонентой вектора . Вычислим его производную по длине стержня. Для этого пишем, замечая, что

При подстановке (19,3) первый член обращается в нуль, так что

У стержня кругового сечения ; согласно (18,3) и (18,6) можно поэтому написать М в виде

При умножении на оба члена дают нуль, так что откуда

(19,8)

т. е. угол кручения постоянен вдоль стержня. Если к концам стержня не приложено крутящих моментов, то на концах равно нулю, а потому кручение отсутствует и по всей длине стержня.

Для стержня кругового сечения можно, таким образом, написать при чистом изгибе

Подстановка этого выражения в (19,3) приводит к уравнению чистого изгиба стержней кругового сечения в виде