Главная > Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 42. Распространение малых колебаний в нематиках

Полная система точных уравнений гидродинамики нематиков очень сложна. Она, естественно, упрощается в случае малых колебаний, когда допустима линеаризация уравнений.

Приступая к исследованию распространения малых колебаний в нематических средах, напомним предварительно, какие типы (моды) колебаний существуют в обычных жидкостях. Прежде всего, это обычные звуковые волны с законом дисперсии (связью между частотой со и волновым вектором k) и скоростью распространения

Колебания в звуковой волне продольны (см. VI, § 64).

Далее, существуют сильно, затухающие вязкие волны с законом дисперсии

где — коэффициент вязкости (см. VI, § 24). Эти волны поперечны (скорость v перпендикулярна вектору к), в связи с чем их часто называют сдвиговыми. Они могут иметь два независимых направления поляризации; закон дисперсии от направления поляризации не зависит.

Наконец, в неподвижной жидкости малые колебания температуры (и энтропии) распространяются, как столь же сильно затухающие волны с законом дисперсии

где — температуропроводность среды (см. VI, § 52).

Волны аналогичных типов существуют и в нематических средах. Но наличие у нематиков дополнительной динамической переменной — Директора п — приводит к появлению еще и новых, специфических для них типов волн (P. G. de Gennes, 1968).

Начнем с обычного звука в нематиках. Легко видеть, что в пределе достаточно длинных волн (т. е. достаточно малых значений ) поправки к скорости звука, связанные с наличием новой динамической переменной, малы, так что скорость звука дается прежней простой формулой (42,1). Представим директор в колеблющейся среде в виде где — постоянное вдоль среды невозмущенное значение, а — малая переменная часть (поскольку то Сравнение левой стороны уравнения (40,3), с первыми двумя членами в его правой стороне показывает, что (член же в рассматриваемом приближении является малой величиной более высокого порядка, поскольку, согласно (36,9), молекулярное поле Поэтому член в плотности энергии жидкости:

т. е. имеет порядок по сравнению с основным членом, который . В рассматриваемом приближении этой энергией можно, следовательно, пренебречь, чем и доказывается сделанное выше утверждение о скорости звука.

В следующем по k приближении появляется связанное с диссипативными процессами поглощение звука. Специфика нематика (по сравнению с обычными жидкостями) проявляется в анизотропии этого поглощения — его зависимости от направления распространения звуковой волны (см. задачу 1).

Остальные типы колебаний в нематиках имеют закон дисперсии, подобный (42,2-3) . Это значит, что при достаточно малых k во всяком случае будет .

В свою очередь отсюда следует, что в этих колебаниях жидкость можно рассматривать как несжимаемую Уравнение непрерывности сводится тогда к или для плоской волны Таким образом, в отношении колебаний скорости рассматриваемые колебания поперечны — сдвиговые колебания.

Для исследования всех этих колебаний произведем линеаризацию уравнений движения, положив в них . В первом приближении молекулярное поле линейно По производным от и тем самым — линейно по

Первый же член в «реактивной» части тензора напряжений (40,16) квадратичен по и потому должен быть опущен. Должны быть опущены также и квадратичные члены, возникающие при образовании тензорной дивергенции в уравнении (40,7) и член в его левой стороне. В результате это уравнение сводится к следующему:

В уравнении же (40,3) достаточно заменить (в первый двух членах в правой стороне) на и опустить член в левой стороне:

Ввиду равенств векторы и v имеют всего по две независимые компоненты. Уравнения (42,5-6) составляют поэтому систему четырех линейных уравнений. Ими определяются четыре колебательные моды, в каждой из которых испытывают связанные друг с другом колебания как скорость, так и директор. Обычно, однако, ситуация существенно упрощается ввиду того, что безразмерное отношение

оказывается малой величиной (здесь — порядки величины модулей упругости нематика и его коэффициентов вязкости Как будет показано ниже, при этом можно различать два существенно различных типа колебаний, для каждого из которых уравнения (42,5-6) допускают определенные упрощения.

В одном из них частота связана с волновым вектором соотношением вида

аналогичным (42,2) (по причине, которая выяснится ниже, эти колебания называют быстрыми сдвиговыми). В обоих уравнениях (42,5-6) можно тогда пренебречь всеми членами, содержащими h. Действительно, из (42,8) видим, что

и поэтому молекулярное поле

Используя эти оценки, легко убедиться, что члены с h в уравнениях малы по сравнению с членами с в отношении Таким образом, система уравнений для быстрых сдвиговых колебаний сводится к

(42,10)

Первое уравнение не содержит и определяет колебания скорости и закон дисперсии, после чего второе уравнение непосредственно дает сопутствующие колебания директора (см. задачу 2).

Перейдем ко второму типу сдвиговых колебаний при условии — к специфическим для нематика медленным колебаниям директора. В этих колебаниях порядок величины переменной части директора определяется балансом между производной в левой стороне уравнения (42,6) и членом в его правой стороне: и поскольку закон дисперсии этих колебаний качественно дается соотношением

(42,11)

Очевидно, что производная рисо в левой стороне уравнения (42,5) оказывается при этом малой по сравнению с членами в его правой стороне и потому может быть опущена. Уравнение

(42,12)

определяет связь между колебаниями скорости и директора, после чего закон дисперсии определяется из уравнения (42,6) (см. задачу 3).

Обратим внимание на то, что отношение частот (42,11) и (42,8) . Таким образом, при одном и том же значении k частота мала по сравнению с с этим и связано название соответствующих колебаний медленными и быстрыми.

Наконец, температурные колебания в неподвижной нематической среде отличаются от аналогичных колебаний в обычной жидкости лишь появлением анизотропии в законе дисперсии, аналогичном (42,3) (см. задачу 4).

1
Оглавление
email@scask.ru