§ 42. Распространение малых колебаний в нематиках

Полная система точных уравнений гидродинамики нематиков очень сложна. Она, естественно, упрощается в случае малых колебаний, когда допустима линеаризация уравнений.

Приступая к исследованию распространения малых колебаний в нематических средах, напомним предварительно, какие типы (моды) колебаний существуют в обычных жидкостях. Прежде всего, это обычные звуковые волны с законом дисперсии (связью между частотой со и волновым вектором k) и скоростью распространения

Колебания в звуковой волне продольны (см. VI, § 64).

Далее, существуют сильно, затухающие вязкие волны с законом дисперсии

где — коэффициент вязкости (см. VI, § 24). Эти волны поперечны (скорость v перпендикулярна вектору к), в связи с чем их часто называют сдвиговыми. Они могут иметь два независимых направления поляризации; закон дисперсии от направления поляризации не зависит.

Наконец, в неподвижной жидкости малые колебания температуры (и энтропии) распространяются, как столь же сильно затухающие волны с законом дисперсии

где — температуропроводность среды (см. VI, § 52).

Волны аналогичных типов существуют и в нематических средах. Но наличие у нематиков дополнительной динамической переменной — Директора п — приводит к появлению еще и новых, специфических для них типов волн (P. G. de Gennes, 1968).

Начнем с обычного звука в нематиках. Легко видеть, что в пределе достаточно длинных волн (т. е. достаточно малых значений ) поправки к скорости звука, связанные с наличием новой динамической переменной, малы, так что скорость звука дается прежней простой формулой (42,1). Представим директор в колеблющейся среде в виде где — постоянное вдоль среды невозмущенное значение, а — малая переменная часть (поскольку то Сравнение левой стороны уравнения (40,3), с первыми двумя членами в его правой стороне показывает, что (член же в рассматриваемом приближении является малой величиной более высокого порядка, поскольку, согласно (36,9), молекулярное поле Поэтому член в плотности энергии жидкости:

т. е. имеет порядок по сравнению с основным членом, который . В рассматриваемом приближении этой энергией можно, следовательно, пренебречь, чем и доказывается сделанное выше утверждение о скорости звука.

В следующем по k приближении появляется связанное с диссипативными процессами поглощение звука. Специфика нематика (по сравнению с обычными жидкостями) проявляется в анизотропии этого поглощения — его зависимости от направления распространения звуковой волны (см. задачу 1).

Остальные типы колебаний в нематиках имеют закон дисперсии, подобный (42,2-3) . Это значит, что при достаточно малых k во всяком случае будет .

В свою очередь отсюда следует, что в этих колебаниях жидкость можно рассматривать как несжимаемую Уравнение непрерывности сводится тогда к или для плоской волны Таким образом, в отношении колебаний скорости рассматриваемые колебания поперечны — сдвиговые колебания.

Для исследования всех этих колебаний произведем линеаризацию уравнений движения, положив в них . В первом приближении молекулярное поле линейно По производным от и тем самым — линейно по

Первый же член в «реактивной» части тензора напряжений (40,16) квадратичен по и потому должен быть опущен. Должны быть опущены также и квадратичные члены, возникающие при образовании тензорной дивергенции в уравнении (40,7) и член в его левой стороне. В результате это уравнение сводится к следующему:

В уравнении же (40,3) достаточно заменить (в первый двух членах в правой стороне) на и опустить член в левой стороне:

Ввиду равенств векторы и v имеют всего по две независимые компоненты. Уравнения (42,5-6) составляют поэтому систему четырех линейных уравнений. Ими определяются четыре колебательные моды, в каждой из которых испытывают связанные друг с другом колебания как скорость, так и директор. Обычно, однако, ситуация существенно упрощается ввиду того, что безразмерное отношение

оказывается малой величиной (здесь — порядки величины модулей упругости нематика и его коэффициентов вязкости Как будет показано ниже, при этом можно различать два существенно различных типа колебаний, для каждого из которых уравнения (42,5-6) допускают определенные упрощения.

В одном из них частота связана с волновым вектором соотношением вида

аналогичным (42,2) (по причине, которая выяснится ниже, эти колебания называют быстрыми сдвиговыми). В обоих уравнениях (42,5-6) можно тогда пренебречь всеми членами, содержащими h. Действительно, из (42,8) видим, что

и поэтому молекулярное поле

Используя эти оценки, легко убедиться, что члены с h в уравнениях малы по сравнению с членами с в отношении Таким образом, система уравнений для быстрых сдвиговых колебаний сводится к

(42,10)

Первое уравнение не содержит и определяет колебания скорости и закон дисперсии, после чего второе уравнение непосредственно дает сопутствующие колебания директора (см. задачу 2).

Перейдем ко второму типу сдвиговых колебаний при условии — к специфическим для нематика медленным колебаниям директора. В этих колебаниях порядок величины переменной части директора определяется балансом между производной в левой стороне уравнения (42,6) и членом в его правой стороне: и поскольку закон дисперсии этих колебаний качественно дается соотношением

(42,11)

Очевидно, что производная рисо в левой стороне уравнения (42,5) оказывается при этом малой по сравнению с членами в его правой стороне и потому может быть опущена. Уравнение

(42,12)

определяет связь между колебаниями скорости и директора, после чего закон дисперсии определяется из уравнения (42,6) (см. задачу 3).

Обратим внимание на то, что отношение частот (42,11) и (42,8) . Таким образом, при одном и том же значении k частота мала по сравнению с с этим и связано название соответствующих колебаний медленными и быстрыми.

Наконец, температурные колебания в неподвижной нематической среде отличаются от аналогичных колебаний в обычной жидкости лишь появлением анизотропии в законе дисперсии, аналогичном (42,3) (см. задачу 4).