§ 45. Дислокации в смектиках

Понятие дислокации в смектике имеет тот же смысл, что и в обычном кристалле. Разница состоит лишь в том, что ввиду одномерной (вдоль оси ) периодичности микроскопической структуры смектиков вектор Бюргерса дислокации в них всегда направлен по оси , а по величине равен целому кратному от периода а Структуры.

С учетом этого замечания для деформации вокруг дислокации в смектике остается справедливой полученная в § 27 формула (27,10) — при надлежащем определении тензора модулей упругости Для этого введем тензор напряжений в смектике в соответствии с обычным определением, т. е. по формуле

где объемная «сила внутренних напряжений» (44,9). Введем также тензор деформаций, отвечающий смещению отличные от нуля его компоненты

Сила (44,9) может быть представлена в виде (45,1), если выразить тензор напряжений через тензор деформации формулами

некоторые из этих компонент — операторы.

Формула (27,10) для смещения и принимает вид

где — функция (44,12).

Рассмотрим два частных случая дислокаций — прямолинейные винтовую и краевую. В первом случае ось дислокации совпадает с направлением вектора Бюргерса, т. е. с осью . Этот случай вообще не требует каких-либо новых вычислений. Заранее ясно, что деформация и будет зависеть только от координат . Но в плоскости у среда изотропна. Поэтому можно сразу воспользоваться результатом задачи 2, § 27, согласно которому

где — полярный угол радиус-вектора в плоскости

Обратимся к более сложному случаю краевой дислокации (P. G. de Gennes, 1972). В этом случае ось дислокации перпендикулярна вектору Бюргерса; пусть она совпадает с осью у. Тогда в качестве поверхности SD в интеграле (45,4) можно взять правую полуплоскость х, у, а вектор нормали к ней будет лежать вдоль отрицательного направления оси . Из всех компонент вида отлична, от нуля только так что формула (45,4) принимает вид

Подставляем сюда функцию G из (44,12). Дифференцирование по z дает множитель интегрирование по дает -функция устраняется затем интегрированием по . В интеграле

для обеспечения сходимости надо понимать как Таким образом, после выполнения интегрирований по получаем

где

Последний интеграл вычисляется путем замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней (при или нижней (при ) полуплоскости комплексной переменной и взятия вычета в полюсе или

где верхний или нижний знак относятся соответственно к и . Таким образом, смещение

Более интересно, однако, не само смещение, а его производные по координатам. Для производной по имеем 00

Согласно (45,6) производная по связана с производными по формулой

откуда

Деформация быстро (экспоненциально) стремится к нулю при и гораздо медленнее (по степенному закону) при