§ 3. Термодинамика деформирования

Рассмотрим какое-нибудь деформированное тело и предположим, что его деформация меняется так, что вектор деформации изменяется на малую величину Определим работу, производимую при этом силами внутренних напряжений. Умножая силу на перемещение и интегрируя по всему объему тела, имеем

Посредством мы обозначили работу сил внутренних напряжений в единице объема тела. Интегрируя по частям, получаем

Рассматривая неограниченную среду, не деформированную на бесконечности, устремим поверхность интегрирования в первом интеграле R бесконечности; тогда на ней и интеграл исчезает. Второй же интеграл можно, воспользовавшись симметрией тензора переписать в виде

Таким образом, - находим

(3,1)

Эта формула определяет работу по изменению тензора деформации.

Если деформация тела достаточно мала, то по прекращении действия вызвавших деформацию внешних сил тело возвращается в исходное недеформированное состояние. Такие деформации называют упругими. При больших деформациях прекращение действия внешних сил не приводит к полному исчезновению деформации, — остается, как говорят, некоторая остаточная деформация, так что состояние тела отличается от того, в каком оно находилось до приложения к нему сил. Такие деформации называют пластическими. В дальнейшем везде (за исключением гл. IV) мы будем рассматривать только упругие деформации.

Предположим далее, что процесс деформирования совершается настолько медленно, что в каждый момент времени в теле успевает установиться состояние термодинамического равновесия, соответствующее тем внешним условиям, в которых тело в данный момент находится (фактически это условие почти всегда выполняется). Тогда процесс будет термодинамически обратимым.

Условимся относить в дальнейшем все такие термодинамические величины, как энтропия S, внутренняя энергия S и т. п., к единице объема тела (а не к единице массы, как это принято в гидродинамике) и обозначать их соответствующими большими буквами.

В этой связи необходимо сделать следующее замечание. Строго говоря, надо различать единицы объема до и после деформирования; эти объемы содержат, вообще говоря, различные количества вещества. Все термодинамические величины мы будем в дальнейшем везде, кроме гл. VI относить к единице объема недеформированного тела, т. е. к заключенному в нем количеству вещества, которое после деформирования может занять объем, несколько отличный от первоначального объема. Соответственно этому, например, полная энергия тела получается всегда интегрированием по объему недеформированного тела.

Бесконечно малое изменение внутренней энергии равно разности полученного данной единицей объема тела количества тепла и произведенной силами внутренних напряжений работы Количество тепла равно при обратимом процессе где Т — температура. Таким образом, взяв из (3,1), получим

(3,2)

Это — основное термодинамическое соотношение для деформируемых тел.

При равномерном всестороннем сжатии тензор напряжений равен (2,6), В этом случае

Но мы видели (см. (1,6)), что сумма представляет собой относительное изменение объема при деформировании. Если рассматривать единицу объема, то будет просто изменением этого объема, — элементом этого изменения. Термодинамическое соотношение принимает тогда обычный вид:

Вводя вместо энергии свободную энергию тела , переписываем соотношение (3,2) в виде

Наконец, термодинамический потенциал Ф тела определяется как

(3,4)

Это — обобщение обычного выражения Подставив (3,4) в (3,3), находим

(3,5)

Независимыми переменными в (3,2) и (3,3) являются соответственно Компоненты тензора напряжений можно получить, дифференцируя Е или F по компонентам тензора деформации соответственно при постоянной энтропии S или температуре

Аналогично, дифференцируя Ф по компонентам можно получить компоненты