Задачи

1. Определить крутильную жесткость стержня с круговым сечением (радиуса ).

Решение. Решения задач 1—4 формально совпадают с решениями задач о движении вязкой жидкости в трубе соответствующего сечения (см. примечание на с. 89); количеству Q протекающей через сечение трубы жидкости соответствует здесь величина С.

Для стержня кругового сечения имеем (начало координат в центре сечения)

Крутильная жесткость:

Для функции получаем из (16,10) . Но постоянная соответствует, согласно (16,4), простому смещению стержня как целого вдоль оси ; поэтому можно считать, чтогр Таким образом, поперечные сечения кругового стержня при кручении остаются плоскими.

2. То же для стержня эллиптического сечения (полуоси а и b). Решение, Крутильная жесткость:

Распределение продольных смещений дается функцией кручения:

(оси координат направлены по осям эллипса).

3. То же для стержня с сечением в виде равностороннего треугольника (длина сторон а).

Решение, Крутильная жесткость:

Функция кручения;

причем начало координат выбрано в центре треугольника, а ось х совпадает с одной из его высот.

4. То же для стержня, имеющего вид длинной тонкой пластинки (ширина d, толщина ).

Решение. Задача эквивалентна задаче о течении вязкой жидкости между плоскопараллельными стенками. Результат:

5. То же для цилиндрической трубы (внутренний и внешний радиусы ).

Решение. Функция

(в полярных координатах) удовлетворяет условию (16,13) на обеих границах кольцевого сечения трубы. По формуле (16,17) найдем

6. То же для тонкостенной трубы произвольного сечения.

Решение. Ввиду тонкости стенки трубы можно считать, что на протяжении ее ширины h функция меняется от нуля на одной стороне до на другой по линейному закону (у — координата вдоль толщины стенки). Тогда условие (16,13) дает где L — длина периметра сечения трубы, a S — охватываемая им площадь. В выражении (16,17) второй член мал по сравнению с первым, и мы получаем

Если трубу разрезать продольно по одной из ее образующих, то крутильная жесткость резко уменьшается, становясь равной (согласно результату задачи