Задачи

1. Найти осесимметричное решение уравнений равновесия нематической среды в цилиндрическом сосуде без особенности на оси, отвечающее граничным условиям рис. 27, б.

Решение. Ищем решение в виде

с граничными условиями

Имеем

Свободная энергия:

Первый интеграл уравнения равновесия:

Интегрирование этого уравнения приводит к результату (полагаем )

При угол по закону

Свободная энергия этой деформации

между тем как свободная энергия плоской дисклинации рис. 27, б:

2. Исследовать устойчивость дисклинаций с индексом относительно мадых возмущений вида (С. И. Анисимов, И. Е. Дзялошинский, 1972).

Решение, а) Невозмущенное поле радиальной дисклинации (рис. 27, а): Возмущенное же поле пишем в виде

где углы — функции угловой координаты Энергия, связанная с этим возмущением:

Для общего исследования надо было бы положить

и выразить энергию как функцию всех . Но и без того сразу видно, что рассматриваемая дисклинация всегда неустойчива относительно возмущения (член — в энергии).

б) Невозмущенное поле циркулярной дисклинации (рис. 27, б): . Возмущенное поле записываем в виде

(определение угла Ф изменено по сравнению с предыдущим случаем). Соответствующая энергия:

Наиболее «опасны» возмущения условия устойчивости по отношению к этим возмущениям:

Полученное в тексте и в задаче 1 утверждение, что свободная энергия деформации в дисклинациях с превышаем энергию несингулярного осесимметричного решения означает лишь, что эти дисклинации могли бы быть в лучшем случае метастабильными. Теперь мы видим, что радиальная дисклинация вообще неустойчива, а циркулярная устойчива (относительно возмущений указанного вида) при соблюдении определенных соотношений между модулями.

3. Нематическая среда заполняет пространство между двумя параллельными плоскостями, причем граничные условия на одной плоскости Требуют перпендикулярности, а на другой — параллельности директора поверхности. Определить равновесную конфигурацию .

Решение. Равновесная конфигурация будет, очевидно, плоской; выберем ее плоскость в качестве плоскости с осью перпендикулярной граничным плоскостям (плоскости Положим

Свободная энергия деформации:

Первый интеграл уравнении равновесии.

откуда с учетом граничных условий

или

где — эллиптический интеграл второго рода.