Задачи

1. Выразить упругую энергию гексагонального кристалла с помощью упругих модулей в координатах (ось по оси шестого порядка).

Решение. При произвольном (не ортогональном) преобразовании координат надо различать контра- и ковариантные компоненты векторов и тензоров; первые преобразуются как сами координаты (их принято обозначать с верхними индексами), а вторые — как операторы дифференцирования (их обозначают с нижними индексами). Скаляр (10,1) надо записывать при этом как

В выражениях (10,8 — 9) компоненты и преобразованы как контравариантные; поэтому для установления связи между компонентами в координатах и х, у, z их надо рассматривать как ковариантные (в декартовых координатах те и другие компоненты, разумеется, совпадают). Для преобразования (10,7) имеем

Преобразуя компоненты как произведения этих операторов, найдем

Свободная энергия (10,9), выраженная через эти модули, имеет вид

2. Найти условия положительности упругой энергии кубического кристалла.

Решение. Первые два члена в (10,10) составляют квадратичную форму трех независимых переменных Условия положительности этой формы требуют положительности определителя ее коэффициентов, одного из его миноров и коэффициента . Кроме того, должен быть положителен третий член в (10,10). Эти условия приводят к неравенствам

где обозначено

3. Определить зависимость модуля растяжения кубического кристалла от направления в нем.

Решение. Выбираем оси координат в направлениях ребер куба. Пусть ось вырезанного из кристалла стержня имеет направление единичного вектора п. Тензор напряжений в растянутом стержне должен удовлетворять следующим условиям: должно быть где — действующая на единицу площади оснований стержня растягивающая сила (условие на основаниях стержня); для направлений t, перпендикулярных , должно быть (условие на боковых сторонах стержня). Такой тензор должен иметь вид Вычислив компоненты а, дифференцированием выражения (10,10) и сравнив с выражениями получим для компонент тензора деформации выражения

и аналогичные для остальных компонент.

Относительное продольное удлинение стержня есть где дается формулой (1,2) и Это дает для малых деформаций Модуль Юнга определяется как коэффициент пропорциональности в , и для него находим

Он имеет экстремальные значения в направлениях ребер (оси ) и пространственных диагоналей куба. В направлении вдоль ребер куба

При этом поперечное сжатие стержня где величина играет роль коэффициента Пуассона. Согласно полученным в предыдущей задаче неравенствам: