ГЛАВА VI. МЕХАНИКА ЖИДКИХ КРИСТАЛЛОВ

§ 36. Статические деформации нематиков

Жидкие кристаллы представляют собой с макроскопической точки зрения анизотропную» текучую среду. Механика этих сред несет в себе черты, свойственные как обычным жидкостям v так и упругим средам, и в этом смысле занимает положение, промежуточное между гидродинамикой и теорией упругости.

Существуют различные тины жидких кристаллов. Категорию нематических жидких кристаллов (или, как говорят для краткости, нематиков) составляют среды, которые в своем недеформированном состоянии однородны не только макро-, но и микроскопически; анизотропия среды связана только с анизотропной ориентацией молекул в пространстве (см. V, §§ 139, 140). Подавляющее большинство известных нематиков относится к простейшему их типу, в котором анизотропия полностью определяется заданием в каждой точке среды единичного вектора , выделяющего всего одно избранное направление; вектор называют директором. При этом значения , различающиеся лишь знаком, физически эквивалентны, так что выделенной является лишь определенная ось, а два противоположных направления вдоль нее эквивалентны. Наконец, свойства этого типа нематиков (в каждом элементе их объема) инвариантны относительна инверсии — изменения знака всех трех координат. Ниже мы рассматриваем только этот тип нематических жидких кристаллов.

Таким образом, состояние нематической, среды описывается заданием в каждой ее точке наряду с обычными для жидкости величинами — плотности , давления и скорости v — еще и директора . Все эти величины входят в качестве неизвестных функций координат и времени в уравнения движения нематика.

В равновесном состоянии неподвижный нематик, не находящийся под действием внешних сил (в том числе со стороны ограничивающих его стенок), однороден: во всем его объеме . В деформированном же нематике направление директора медленно меняется по пространству; медленность подразумевается здесь в обычном для макроскопической теории смысле: характерные длины, на которых деформация существенно меняется, велики по сравнению с молекулярными размерами, так что производные должны рассматриваться как малые величины.

В этой главе мы будем относить все термодинамические величины к единице объема деформированного тела, а не к единице объема недеформированного, как в предыдущих главах. Определенная таким образом плотность свободной энергии F нематической среда складывается из свободной энергии недеформированного нематика и энергии деформации Последняя представляет собой квадратичное по производным от выражение, общий вид которого (С, W. Omen, 1933; F. С. Frank, 1958; J. L. Ericksen, 1962)

(см. V § 140); отметим, что для единичного вектора в силу тождества справедливо равенство

поэтому последний член в (36,1) может быть записан также и в эквивалентной форме

Энергия (36,1) играет в механике нематиков роль, аналогичную роли упругой энергии деформированного твердого тела, и именно ее существование придает этой механике некоторые черты теории упругости

Три квадратичные комбинации производных в (36,1) независимы друг от друга: каждая из них может быть отлична от нуля при равных нулю двух других. Поэтому условие устойчивости недеформированного состояния требует положительности всех трех коэффициентов (функции плотности и температуры); мы будем называть их модулями упругости нематика (их называют также модулями Франка).

Упомянем, что деформации, в которых отлична от нуля лишь одна из величин или , называют соответственно поперечным изгибом, кручением или продольным изгибом. В общем случае, конечно, деформация нематика содержит одновременно все эти три элемента. Для иллюстрации их характера укажем простые примеры. Пусть нематическая среда заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрическими по верхностями; — цилиндрические координаты с осью оси цилиндров.

Если директор в каждой точке среды направлен вдоль радиуса то деформация представляет собой поперечный изгиб . Если направлен в каждой точке вдоль окружности с центром на оси то мы имеем чистый продольный изгиб Наконец, если по толщине (ось ) плоскопараллельного слоя нематика направление директора меняется по закону мы имеем дело с чистым кручением .

Стенки, ограничивающие занимаемый жидкокристаллической средой объем, и даже ее свободная поверхность оказывают на среду ориентирующее воздействие (об этом будет говориться подробнее ниже). Поэтому уже само наличие граничных поверхностей приводит, вообще говоря, к деформированию неподвижной жидкокристаллической среды. Возникает вопрос о нахождении уравнений, определяющих эту деформацию; другими словами — об уравнениях, определяющих равновесное распределение при заданных граничных условиях (J. L. Ericksen, 1966).

Для этого исходим из общего термодинамического условия равновесия — минимальности полной свободной энергии тела, т. е. интеграла представляющего собой функционал от функции . Поскольку вектор единичный, этот функционал должен быть минимален при дополнительном условии следуя известному методу неопределенных множителей Лагранжа, надо потребовать равенства нулю вариации

— некоторая функция. Подынтегральное выражение зависит как от самих функций , так и от их производных. Имеем

Второй член — интеграл по поверхности тела — существен лишь для нахождения граничных условий. Полагая пока на границах, находим для вариации полной свободной энергии

где Н — вектор с компонентами

Величина Н играет роль поля, стремящегося «выпрямить» направления во всем объеме жидкого кристалла; его называют молекулярным полем.

Уравнение же (36,3) принимает вид

откуда ввиду произвольности вариации находим уравнение равновесия в виде Отсюда т. е. продольная компонента этого уравнения удовлетворяется за счет выбора X. Поэтому фактически условие равновесия сводится к требованию коллинеарности векторов Н и в каждой точке среды; продольная же компонента Н не имеет физического смысла. Таким образом, условие равновесия можно записать в виде

введя вектор h, для которого

Найдем явное выражение молекулярного поля, соответствующего свободной энергии (36,1). Для проведения дифференцирования по замечаем, что

(где - антисимметричный единичный тензор), и поэтому

В результате получим для тензора выражение

Дальнейшее дифференцирование, согласно определению (36,6), приводит к следующей довольно сложной формуле для молекулярного поля:

Граничные условия к уравнениям равновесия не могут быть установлены в общем виде: они зависят не только от упругой энергии (36,1), но и от конкретного рода взаимодействия жидкости с ограничивающей ее стенкой; эта поверхностная энергия должна была бы быть включена в полную свободную энергию, минимальность которой определяют условия равновесия. Фактически эти поверхностные силы обычно настолько велики, что именно они устанавливают направление на границе, не зависящее от характера деформации в объеме образца.

Если граничная твердая поверхность анизотропна, то это направление оказывается вполне определенным (или одним из нескольких вполне определенных). Если же поверхность изотропна (сюда относится и случай свободной поверхности), то оказывается заданным лишь угол между и нормалью к поверхности. Если этот угол равен нулю, то имеет вполне определенное направление — по нормали к поверхности. Если же угол отличен от нуля, то допустимые направления заполняют коническую поверхность с определенным углом раствора.

В этой последней ситуации необходимо поставить дополнительное граничное условие. Оно устанавливается требованием обращения в нуль поверхностного интеграла в (36,4) для вариаций представляющих собой повороты вокруг нормали в каждой точке поверхности с сохранением угла наклона к ней (т. е. вариаций, не меняющих поверхностной энергии). Такая вариация имеет вид где v — единичный вектор нормали, а — произвольный (в каждой точке поверхности) угол поворота. Написав также элемент поверхности в виде получим

откуда ввиду произвольности следует граничное условие

(36,10)

или, направив ось z вдоль v:

Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу фигурирующих в (36,1) модулей упругости. Поскольку они введены как коэффициенты в свободной энергии, ими определяются изотермические деформации тела. Легко видеть, однако, что те же коэффициенты определяют в нематиках также и адиабатические деформации. Действительно, мы видели в § 6, что для твердого тела различие между изотермическими и адиабатическими модулями возникает в силу наличия в свободной энергии члена, линейного по тензору деформации. Для нематиков аналогичную роль мог бы играть член, линейный по производным Такой член должен был бы быть скаляром и к тому же инвариантным по отношению к изменению знака п. Очевидно, что такой член построить нельзя (произведение — псевдоскаляр, а единственный истинный скаляр меняет знак вместе с ). По этой причине изотермические и адиабатические модули нематика совпадают друг с другом (подобно тому, как это имеет место для модуля сдвига изотропного твердого тела — § 6).

Эти рассуждения можно сформулировать и несколько иначе: в отсутствие линейного члена квадратичная упругая энергия (36,1) является первой «малой поправкой» к термодинамическим величинам недеформированного тела; в силу «теоремы о малых добавках» (см. V, § 15), будучи выражена через соответствующие термодинамические переменные (температуру или энтропию), она одина кова для свободной энергии и для внутренней энергии.