Задачи

1. Определить деформацию плоского диска, равномерно вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к его плоскости.

Решение. Искомое решение отличается лишь значениями постоянных коэффициентов от полученного в задаче 5 § 7 решения для плоской деформации вращающегося цилиндра.

Радиальное смещение дается формулой

Это — выражение, переходящее при замене (13,3) в формулу, полученную в задаче 5 § 7.

2. Определить деформацию полубесконечной пластинки (с прямолинейным краем) под влиянием сосредоточенной силы, приложенной к точке края пластинки и действующей в ее плоскости.

Решение. Вводим полярные координаты с углом отсчитываемым от направления действия приложенной силы; он пробегает значения от до где а — угол между направлением силы и нормалью к краю пластинки (рис. 6). Во всех точках свободной границы, за исключением точки приложения внешней силы (начало координат), должны выполняться условия Воспользовавшись выражениями для полученными в задаче 11 § 7, найдем, что для этого функция напряжений должна удовлетворять условиям

Рис. 6

Оба эти условия выполняются, если При такой подстановке бигармоническое уравнение

дает для решения вида Из них первые два фиктивны, так как приводят к тождественно равным нулю напряжениям. Решение, дающее правильное значение приложенной в начале координат силы;

( — значение силы, отнесенное к единице толщины пластинки). Действительно, проецируя силы внутренних напряжений на направления, параллельное и перпендикулярное к силе F, и интегрируя по малой полуокружности с центром в начале координат (радиус которой можно представить себе стремящимся затем к нулю), получим

т. е. как раз те значения, которые компенсируются приложенной в начале координат внешней силой.

Формулы (1) определяют искомое распределение напряжений. Оно оказывается чисто радиальным: на всякую площадку, перпендикулярную к радиусу, действует только радиальная сжимающая сила. Линиями равных напряжений являются окружности проходящие через начало координат и имеющие центры на прямой, вдоль которой действует сила F (рис. 6). Компоненты тензора деформации

Отсюда интегрированием (с помощью выражений (1,8) для компонент в полярных координатах) можно найти вектор смещения:

Постоянные интегрирования выбраны здесь таким образом, чтобы исключить перемещение (перенос или поворот) пластинки как целого; именно, предполагается несмещенной некоторая условно выбранная точка, находящаяся на расстоянии а от начала координат на линии действия силы.

Рис. 7

Рис. 8

С помощью полученного решения можно построить решение для произвольного распределения сил, действующих на край пластинки (ср. § 8). Само по себе оно, разумеется, неприменимо в непосредственной окрестности начала координат.

3. Определить деформацию бесконечной клиновидной пластинки (с углом при вершине) под влиянием силы, приложенной к ее вершине.

Решение. Распределение напряжений определяется формулами, отличающимися от полученных в предыдущей задаче лишь нормировкой. Если сила действует вдоль средней линии клина (сила на рис. 7), то имеем

Если же сила действует в перпендикулярном направлении ( на рис. 7), то

В каждом из этих двух случаев угол отсчитывается от соответствующего направления действия силы.

4. Определить деформацию круглого диска (радиуса R), сжатого двумя равными и противоположными силами приложенными к двум концам диаметра (рис. 8).

Решение. Решение задачи получается путем наложения трех распределений внутренних напряжений. Два распределения:

где — полярные координаты произвольной точки Р с началами соответственно в точках А и В (это есть напряжения, которые возникли бы от нормальной силы F, приложенной к точке на границе полуплоскости, см. задачу 2), Третье распределение

представляет собой равномерное растяжение определенной интенсивности. Действительно, если точка Р лежит на окружности края диска, то для нее , так что

Поскольку направления и в этой точке взаимно перпендикулярны, то мы видим, что первые две системы напряжений приводят на краю диска к равномерному сжатию; эти силы как раз компенсируются равномерным растяжением третьей системы, так что край диска оказывается, как и следовало, свободным от напряжений.

5. Определить распределение напряжений в неограниченной пластинке с круглым отверстием (радиуса R), подвергаемой равномерному растяжению.

Решение. Равномерному растяжению сплошной пластинки соответствуют напряжения где Т — растягивающая сила. Им отвечает функция напряжений

При наличии круглого отверстия (с центром в начале полярных координат ) ищем функцию напряжений в виде

Не зависящий от интеграл бигармонического уравнения имеет вид

а в интеграле, пропорциональном :

Входящие сюда постоянные определяются условиями при при . В результате получим

и распределение напряжений определяется так:

В частности, на границе отверстия а при т. е. в три раза превосходит напряжения на бесконечности (ср. задачу 12 § 7).