§ 16. Кручение стержней

Перейдем теперь к изучению деформаций тонких стержней. Этот случай отличается от всех ранее рассматривавшихся тем, что вектор смещения может быть большим даже при слабой деформации, т. е. при малом тензоре Так, при слабом сгибании тонкого длинного стержня его концы могут значительно переместиться в пространстве, даже если относительные смещения соседних точек в стержне малы.

Существует два типа деформаций стержней, могущих сопровождаться большим смещением отдельных частей стержня. Одним из них является изгиб стержня, а вторым — его кручение. С рассмотрения этого второго случая мы и начнем.

Деформация кручения заключается в том, что в стержне, остающемся при этом прямым, каждое поперечное сечение поворачивается относительно ниже лежащих на некоторый угол.

Если стержень длинный, то при слабом кручении достаточно удаленные друг от друга сечения могут повернуться на большой угол. Образующие боковой поверхности стержня, параллельные его оси, приобретают при кручении винтовую форму.

Рассмотрим тонкий прямой стержень произвольного сечения. Выберем систему координат с осью z вдоль оси стержня и началом координат где-нибудь внутри него. Введем угол кручения как угол поворота, отнесенный к единице длины стержня. Это значит, что два бесконечно близких поперечных сечения, находящихся на расстоянии поворачиваются друг относительно друга на угол (так что ). Сама деформация кручения, т. е. относительные смещения соседних частей стержня, предполагаются малыми. Условием этого является малость относительного поворота сечений, удаленных вдоль длины стержня на расстояния порядка его поперечных размеров R, т. е.

Рассмотрим небольшую область длины стержня вблизи начала координат и определим смещения и точек стержня в этой области. В качестве несмещенного выберем поперечное сечение стержня в координатной плоскости х, у. Как известно, при повороте радиус-вектора на малый угол смещение его конца определяется формулой

где — вектор с абсолютной величиной, равной углу поворота, направленный вдоль оси, вокруг которой производится поворот. В нашем случае поворот производится вокруг оси , причем для точек с координатой z угол поворота относительно плоскости у равен (угол в области вблизи начала координат можно рассматривать как постоянный). Формула (16,2) дает теперь для компонент вектора смещения

При кручении стержня его точки испытывают, вообще говоря, также и смещение вдоль оси . Поскольку при это смещение отсутствует, то при малых его можно считать пропорциональным . Таким образом,

где — некоторая функция от х и у, называемая функцией кручения. В результате описываемой формулами (16,3) и (16,4) деформации каждое поперечное сечение стержня поворачивается вокруг оси z, одновременно искривляясь, переставая быть плоским. Следует заметить, что, выбрав определенным образом начало координат в плоскости х, у, мы тем самым «закрепляем» определенную точку сечения стержня так, что она не смещается в этой плоскости (смещаясь, однако, вдоль оси ); изменение выбора начала координат не отразилось бы, разумеется, на самой деформации кручения, приведя лишь к несущественному общему смещению стержня как целого.

Зная и, можно найти компоненты тензора деформации. Поскольку и в рассматриваемой области мало, то можно воспользоваться формулой результате находим

Обращаем внимание на то, что другими словами, кручение не сопровождается изменением объема, т. е. представляет собой деформацию чистого сдвига.

Для компонент тензора напряжений находим

(здесь удобнее пользоваться модулем сдвига (а вместо Е и о). Поскольку отличны от нуля только то общие уравнения равновесия сводятся к уравнению

Подставив сюда (16,6), мы найдем, что функция кручения должна удовлетворять уравнению

где А — двухмерный оператор Лапласа.

Несколько более удобно, однако, пользоваться другой вспомогательной функцией , определяемой равенствами

для этой функции получаются более удобные граничные условия на контуре сечения стержня (см. ниже). Сравнив (16,9) с (16,6), получим

Дифференцируя первое равенство по у, второе по х и вычитая одно из другого, получим для функции следующее уравнение:

(16,11)

Для определения граничных условий на поверхности стержня замечаем, что благодаря малой толщине стержня действующие на его боковую поверхность внешние силы малы по сравнению с возникающими в стержне внутренними напряжениями и потому могут быть положены (при отыскании граничных условий) равными нулю.

Это обстоятельство в точности аналогично тому, что мы имели при рассмотрении изгиба тонких пластинок. Таким образом, на боковой поверхности стержня должно быть поскольку ось 2 направлена по оси стержня, то вектор нормали имеет только компоненты так что написанное уравнение сводится к условию

Подставляя сюда (16,9), получаем

Но компоненты вектора нормали к плоскому контуру (контуру сечения стержня) равны где х, у — координаты точек контура, — элемент дуги. Таким образом, получаем

откуда , т. е. на контуре сечения функция постоянна.

Рис. 13

Поскольку в определения (16,9) входят только производные от функции то ясно, что к этой функции можно прибавлять любую постоянную. Если контур сечения односвязен, то можно, следовательно, без всякого ограничения общности положить на нем в качестве граничного условия к уравнению (16,11)

(16,12)

В случае же многосвязного контура будет иметь различные постоянные значения на каждой из замкнутых кривых, составляющих контур. Поэтому положить равным нулю можно будет лишь на одной из этих кривых, например на внешнем контуре ( на рис. 13). Значения же на остальных частях контура определятся из условия, являющегося следствием однозначности смещения как функции координат. Именно, ввиду однозначности функции кручения интеграл от ее дифференциала по замкнутому контуру должен быть равен нулю.

С помощью соотношений (16,10) имеем поэтому

или

(16,13)

где есть производная функции по направлению внешней нормали к контуру, a S — охватываемая этим контуром площадь. Применяя (16,13) к каждой из замкнутых кривых мы и получим искомые условия.

Определим свободную энергию подвергнутого кручению стержня. Для энергии единицы объема имеем

и, подставляя сюда (16,9):

где V означает двухмерный градиент. Энергия кручения, отнесенная к единице длины стержня, получится отсюда интегрированием по площади поперечного сечения, т. е. равна , где коэффициент С равен

Величину С называют крутильной жесткостью стержня. Полная упругая энергия стержня равна интегралу

взятому по его длине.

Написав

и преобразуя интеграл от первого члена в интеграл по линии контура сечения стержня, получим

(16,15)

Если контур сечения односвязен, то ввиду граничного условия первый член исчезает и остается

(16,16)

Для многосвязной же границы (рис. 13), положив на внешнем контуре и обозначив посредством постоянные значения на внутренних контурах получим с помощью (16,13)

(16,17)

(следует помнить, что при интегрировании в первом члене в (16,15) контур обходится в прямом, а контур — в обратном направлениях).

Рассмотрим наиболее обычный случай кручения, когда один из концов стержня закреплен неподвижно, а внешние силы приложены только к поверхности другого его конца. Эти силы таковы, что производят только кручение стержня без какой бы то ни было другой его деформации, например изгиба. Другими словами, они составляют некоторую пару сил, закручивающую стержень вокруг его оси. Момент этой пары обозначим посредством М.

Естественно ожидать, что в таком случае угол кручения постоянен вдоль длины стержня. В этом можно убедиться, например, из условия минимума полной свободной энергии стержня в равновесии. Полная энергия деформированного стержня равна сумме где U — потенциальная энергия, обусловленная действием внешних сил. Подставляя в (16,14) и варьируя по углу находим

или, интегрируя по частям,

В последнем члене слева берется разность значений на пределах интегрирования, т. е. на концах стержня. Один из этих концов, скажем нижний, закреплен так, что на нем Что касается вариации потенциальной энергии, то, взятая с обратным знаком, она представляет собой работу внешних сил при повороте на угол Как известно из механики, работа пары сил при таком повороте равна произведению угла поворота на момент пары. Поскольку никаких других внешних сил нет, то б и мы получаем

(16,18)

Во втором члене берется его значение на верхнем пределе. В интег грале по вариация произвольна, а потому должно быть т. е.

(16,19)

Таким образом, угол кручения постоянен вдоль всей длины стержня. Полный угол поворота верхнего основания относительно нижнего равен поэтому просто произведению угла на длину l стержня. В уравнении (16,18) должен исчезнуть также и второй член. Отсюда находим следующее выражение для постоянного угла кручения: