§ 46. Уравнения движения смектиков

Механика смектиков имеет то общее с механикой нематиков, что в обоих случаях речь идет о гидродинамике с дополнительными (по сравнению с обычной жидкостью) переменными. В случае нематиков этой переменной является директор , а в случае смектиков — смещение и слоев (Р. С. Martin, О. Parodi, P. S. Реrshan, 1972). Последнее требует пояснения. Скорость определяется в гидродинамике как импульс единицы массы вещества Ее компонента отнюдь не обязана совпадать в данном случае с производной Перенос массы (в направлении оси ) может осуществляться в смектике не только за счет деформирования слоев, но и путем «просачивания» вещества сквозь остающуюся неподвижной одномерную структуру (подобно описанному в § 43 аналогичному эффекту в холестериках).

Это явление не специфично для жидких кристаллов, аналогичное явление возможно и в твердых кристаллах, где оно связано с диффузией дефектов (см. примечание на с. 124). Но в смектиках оно в принципе неустранимо ввиду большей «размытости» периодической структуры (как бы содержащей значительное число дефектов — вакансий) и большей подвижности молекул.

При адиабатическом движении каждый элемент жидкости переносит свое постоянное значение энтропии s (отнесенной к единице массы); если в какой-либо начальный момент времени энтропия s была постоянна по всему объему среды, она останется постоянной и в дальнейшем. Поскольку условие справедливо именно для энтропии единицы массы, будет удобным относить сначала к единице массы также и внутреннюю энергию среды; обозначим ее через е. Для деформированного смектика эта величина выражается формулой, аналогичной (44,1):

где — плотность недеформированной среды; коэффициенты А, В, С здесь не совпадают с таковыми в (44,1) — они представляют собой теперь адиабатические значения модулей упругости (и предполагаются выраженными в функции от s), а не изотермические, как в (44,1); что касается коэффициента то его изотермическое и адиабатическое значения совпадают по тем же причинам, что и для нематиков (см. конец § 36).

Единица массы вещества занимает объем . Поэтому термодинамическое соотношение для дифференциала энергии:

Давление в среде можно, следовательно, найти дифференцированием выражения (46,1)

Дальнейшее построение уравнений движения смектиков очень близко по используемой последовательности операций произведенному в § 40 выводу уравнений движения нематиков. Для усиления этой аналогии снова (как и в § 40) будем пользоваться энергией и энтропией отнесенными к единице объема.

Уравнение непрерывности имеет обычный вид

Динамическое уравнение для скорости должно иметь вид

(46,4)

(ср. (40,7)); вид тензора напряжений будет установлен ниже.

Еще одно уравнение связано с наличием дополнительной переменной и выражает собой отличие от :

Величина N представляет собой скорость «просачивания» — скорость жидкости относительно одномерной решетки; она имеет кинетическую природу, и ее выражение будет установлено ниже.

Наконец, уравнение для энтропии, учитывающее диссипативные процессы в среде, имеет вид (40,8)

Как и в § 40, вычисляем производную по времени от полной энергии единицы объема среды, фигурирующую в уравнении закона сохранения энергии (40,11). Отличие возникает только в виде последнего члена в (40,12). Имеем теперь

(как и в § 40, члены с полными дивергенциями не выписываем), где введено обозначение

Если рассматривать h как z-компоненту векторной величины ( — единичный вектор вдоль оси ), то легко убедиться, что этот вектор может быть представлен в виде дивергенции

где симметричный тензор имеет следующие компоненты

(46,10)

Подставив в (46,7) из уравнения (46,5) и снова выделив в одном из членов полную дивергенцию, пишем

Это выражение отличается от (40,17) лишь смыслом обозначений Ли Поступая далее также, как это было объяснено в § 40, получим прежнее выражение (40,21) для дисвипативной функции

(46,11)

где — вязкая часть тензора напряжений:

(46,12)

Динамическое уравнение (46,4) с этим тензором напряжений принимает после линеаризации (опускаем член ) вид

(46,13)

где вектор определен выражением (46,8).

Вязкий тензор напряжений тепловой поток q и скорость просачивания N («термодинамические потоки») обычным образом представляются выражениями, линейными по «термодинамическим силам» — причем коэффициенты в этих выражениях связаны друг с другом соотношениями, следующими из принципа Онсагера. Не повторяя заново соответствующих рассуждений (ср. §§ 41, 43), напишем результат. При этом будем считать, что (как это обычно имеет место) смектик обладает центром инверсии (до сих пор это еще не предполагалось). Тогда вязкий тензор напряжений дается той же формулой (41,4), что и для нематиков, причем под следует понимать направление оси . Тепловой поток и скорость просачивания даются выражениями

(46,14)

причем положительность диссипативной функции требует выполнения неравенств

(46,15)

Явление просачивания делает возможным существование в смектиках эффекта, подобного описанному в конце § 43 для холестериков. Если периодическая структура смектика каким-то способом закреплена в пространстве, возможно существование однородного стационарного течения вдоль оси . Из (46,13) следует, что для такого течения а из (46,5) с N из (46,14):

(46,16)

К сказанному выше о кинетических коэффициентах смектиков надо сделать важную оговорку. Уже упоминавшаяся в § 45 расходимость флуктуаций в смектиках в особенности сильно проявляется именно в кинетических явлениях, что может существенно изменить их характер.