§ 30. Распределение взаимодействующих дислокаций

Рассмотрим совокупность большого числа одинаковых прямолинейных дислокаций, расположенных параллельно друг другу в одной и той же плоскости скольжения, и выведем уравнение, определяющее их равновесное распределение. Пусть ось параллельна дислокациям, а плоскость совпадает с плоскостью скольжения.

Будем для определенности считать, что векторы Бюргерса дислокаций направлены вдоль оси Тогда сила, действующая в плоскости скольжения на единицу длины дислокации, равна , где — напряжение в точке нахождения дислокации.

Напряжения, создаваемые одной прямолинейной дислокацией (и действующие на другую дислокацию), убывают обратно пропорционально расстоянию от нее. Поэтому напряжение, создаваемое в точке дислокацией, находящейся в точке имеет вид где D — постоянная порядка величины упругих модулей кристалла. Можно показать, что эта постоянная одинаковые дислокации в одной и той же плоскости скольжения отталкиваются друг от друга (для изотропной среды это показано в задаче 3 § 28).

Обозначим посредством линейную плотность дислокаций, распределенных на отрезке оси есть сумма векторов Бюргерса дислокаций, проходящих через точки интервала Тогда полное напряжение, создаваемое в точке оси всеми дислокациями, запишется в виде интеграла

Для точек внутри самого отрезка этот интеграл должен пониматься в смысле главного значения для того, чтобы исключить физически бессмысленное действие дислокации самой на себя.

Если в кристалле имеется также и плоское (в плоскости х, у) поле напряжений , созданное заданными внешними нагрузками, то каждая дислокация будет находиться под действием силы где мы обозначили для краткости

Условие равновесия заключается в обращении этой силы в нуль: т. е.

где главное значение обозначено, как это принято, перечеркнутым знаком интеграла. Это — интегральное уравнение для определения равновесного распределения Оно относится к типу сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

Решение такого уравнения сводится к задаче теории функций комплексного переменного, формулируемой следующим образом.

Обозначим посредством функцию, определенную во всей плоскости комплексного (с разрезом по отрезку ), как интеграл

Посредством обозначим предельные значения на верхнем и нижнем берегах разреза. равны таким же интегралам, взятым по отрезку с обходом точки соответственно снизу или сверху по бесконечно малой полуокружности, т. е.

Если удовлетворяет уравнению (30,2), то главное значение интеграла равно (), так что имеем

Таким образом, задача о решении уравнения (30,2) эквивалентна задаче об отыскании аналитической функции со свойством (30,5), после чего определяется по (30,6). При этом физические условия рассматриваемой задачи требуют также, чтобы было это следует из того, что вдали от системы дислокаций напряжения должны обращаться в нуль (по определению (30,3), вне отрезка

Рассмотрим сначала случай, когда внешние напряжения отсутствуют () а дислокации сдерживаются какими-либо препятствиями (дефектами решетки) на концах отрезка При имеем из (30,5): , т. е. функция должна менять знак при обходе каждой из двух точек . Этому условию удовлетворяет любая функция вида

где — полином.

Условие же фиксирует (с точностью до постоянного коэффициента) выбор так что

Такой же вид будет иметь, согласно (30,6), и искомая функция Определив коэффициент в ней согласно условию

(В — сумма векторов Бюргерса всех дислокаций), получим

Мы видим, что дислокации скапливаются по направлению к препятствиям (границам отрезка) с плотностью, обратно пропорциональной корню из расстояний до них. По такому же закону возрастают при приближении к или напряжения вне отрезка так, при

Другими словами, концентрация дислокаций у границы приводит к таком же концентрации напряжений по другую сторону границы.

Предположим теперь, что в тех же условиях (препятствия в заданных концах отрезка) имеется также и внешнее поле напряжений Обозначим посредством функцию вида (30,7) и перепишем равенство (30,5) (разделив его на ) в виде

Сравнив это равенство с (30,6), заключаем из него, что

(30,11)

где — полином. Решение, удовлетворяющее условию получим, выбрав в качестве функцию (30,8) и положив (С — константа). Искомая функция находится отсюда по формуле (30,6) и равна

(30,12)

Постоянная С определяется условием (30,9). И здесь возрастает при по закону по другую сторону препятствия возникает такая же концентрация напряжений.

Если препятствие имеется только с одной стороны (скажем, в точке ), искомое решение должно удовлетворять условию конечности напряжений при всех включая точку при этом само положение последней точки заранее неизвестно и должно определиться в результате решения задачи. В терминах это значит, что должно быть конечным. Такая функция (удовлетворяющая такжеи условию ) получится по той же формуле (30,11), если в качестве выбрать функцию

тоже относящуюся к виду (30,7), и положить в (30,11) . В результате получим

При обращается в нуль как По такому же закону стремится к нулю с другой стороны точки полное напряжение

Наконец, пусть препятствия отсутствующ в обоих концах отрезка и дислокации сдерживаются лишь внешними напряжениями Соответствующее получим, положив в (30,11)

Однако условие требует при этом соблюдения дополнительного условия: произведя в (30,11) предельный переход к найдем

(30,14)

Искомая функция дается формулой

(30,15)

причем координаты концов отрезка определяются условиями (30,9) и (30,14).

Задача

Найти распределение дислокаций в однородном поле напряжений () на участке с препятствием на одном или на обоих концах.

Решение. В случае препятствия на одном конце вычисление интеграла (30,13) дает

Из условия же (30,9) определяется длина участка расположения дислокаций: Вблизи препятствия, по другую сторону от него, напряжения концентрируются по закону

В случае участка (длины ), ограниченного двумя препятствиями, выбираем начало отсчета в его середине и находим по (30,12)