§ 40. Уравнения движения нематиков

Состояние движущейся нематической среды определяется распределениями в пространстве четырех величин: директора , плотности массы , скорости v и плотности энтропии S. Соответственно этому полная система гидродинамических уравнений движения нематика состоит из четырех уравнений, определяющих производные по времени от указанных величин

Начнем с уравнения для директора. Если нематик находится в равновесии (так что ) и движется как целое с постоянной по пространству скоростью, то это уравнение дойжно выражать собой просто тот факт, что и значения переносятся в пространстве с той же скоростью. Другими словами, каждая жидкая частица перемещается в пространстве со своим значением . Это выражается равенством нулю полной (или, как говорят, субстанциональной) производной по времени

В общем же случае произвольного движения в правой части уравнения появляются члены, зависящие от h и от производных скорости по координатам; в первом неисчезающем гидродинамическом приближении надо ограничиться членами, линейными по этим величинам.

Производные составляют тензор, который можно разделить на симметричную и антисимметричную части:

Для установления зависимости от достаточно заметить, что при равномерном вращении нематика как целого с угловой скоростью , с той же скоростью будет вращаться и все поле Такое вращение описывается уравнением

Действительно, скорость точек вращающегося как целое тела тогда и для скорости изменения директора получается такое же выражение Члены же, зависящие от должны быть составлены с учетом требования следующего из постоянства квадрата . Таким образом, приходим к следующему общему виду «уравнения движения директора»:

где

Член N описывает релаксацию директора к равновесию под действием молекулярного поля, а второй член в (-ориентирующее действие градиента скорости на директор. Коэффициент у (с размерностью вязкости) и коэффициент (безразмерный) в этих членах имеют кинетическую (а не термодинамическую) природу.

Уравнение для временной производной плотности жидкости есть уравнение непрерывности

Отметим, что этим уравнением, по существу, определяется гидродинамическая скорость как плотность потока вещества, отнесенная к единице его массы.

Уравнение для временной производной скорости есть динамическое уравнение

где F — сила, действующая на единицу объема.

В соответствии с изложенными в § 2 общими рассуждениями, объемные силы могут быть представлены в виде тензорной дивергенции

где — тещор напряжений. Тогда динамическое уравнение запишется в виде

Вид тензора напряжений будет установлен ниже.

Наконец, остается еще уравнение для энтропии. В отсутствие диссипативных процессов движение жидкости было бы адиабатичным, причем адиабатичным в каждом элементе жидкости, которые передвигались бы со своими постоянными значениями энтропии. Уравнение, выражающее сохранение энтропии, записывалось бы просто в виде уравнения непрерывности для нее:

где S — энтропия единицы объема, — плотность потока энтропии. При учете диссипативных процессов энтропийное уравнение имеет вид

Здесь R — так называемая диссипативная функция; определяет скорость возрастания энтропии 2); она представляет собой квадратичную форму, составленную из компонент тензора и векторов h и градиента температуры . Вектор же q — плотность потока тепла, связанного с теплопроводностью. Компоненты этого вектора — линейные функции компонент вектора градиента температуры

В нематической среде тензор коэффициентов теплопроводности имеет две независимые компоненты и может быть представлен в виде

(40,10)

где к описывают теплопроводность в продольном и поперечном (по отношению к ) направлениях.

Закон сохранения энергии в гидродинамике выражается уравнением вида

(40,11)

где Е — плотность внутренней энергии, a Q — плотность потока энергии. Плотность энергии где относится к недеформированной, однородной среде, а энергия связана с искажением поля . Согласно сказанному в конце § 36 величина совпадает со свободной энергией (36,1), с той лишь разницей, что модули упругости подразумеваются выраженными через плотность и энтропию, а не температуру.

Закон сохранения энергии содержится, конечно, в уравнениях движения. Мы же воспользуемся им для установления связи между введенными выше функцией R, тензором и вектором

Раскроем производную по времени в уравнении (40,11) с учетом термодинамических соотношений

где — химический потенциал. Имеем

(40,12)

Рассмотрим отдельно последний член. Введя обозначение из (36,6), пишем

(вместо Н здесь написано h, поскольку продольная часть Н сразу выпадает ввиду равенства Подставив сюда из (40,3), пишем:

и после выделения еще одной полной дивергенции:

(40.13)

где

(40,14)

Здесь и ниже мы не выписываем полностью выражение под знаком дивергенции с целью уменьшения громоздкости формул: Эти члены (к которым мы вернемся еще в конце параграфа) не существенны для решения поставленного вопроса.

Выражение (40,14) можно представить в виде

(40,15)

где

(40,16)

При преобразовании использовано равенство

Определение тензора неоднозначно: выражение (40,15) не изменится при добавлении к любого слагаемого вида где — произвольный тензор, антисимметричный по последней паре индексов Хотя тензор (40,16) не симметричен, он может быть приведен к симметричному виду прибавлением члена указанного вида с надлежащим образом подобранным тензором Фактическое проведение этой, довольно громоздкой, операции отложим до конца параграфа, а сейчас продолжим вывод уравнений движения, предполагая симметризацию уже произведенной.

Подставив (40,15) в (40,13) и выделяя в одном из членов полную дивергенцию (с учетом симметричности ), получим

(40,17)

Наконец, подставим в (40,12) фигурирующие там производные по времени из (40,5), (40,7-8) и (40,17), причем частную (при постоянных и S) производную от Е выразим через полную производную согласно

После ряда преобразований (выделения полных дивергенций) получим в результате

(40,18)

где связано с формулой

(40,19)

a давление введено согласно его термодинамическому определению;

(40,20)

( — термодинамический потенциал единицы объема вещества); как и должно было быть, им определяется изотропная часть тензора напряжений.

Сравнив (40,18) с уравнением сохранения энергии (40,11), мы видим, что

(40,21)

Эта функция определяет вызванное диссипативными процессами увеличение энтропии. Ясно поэтому, что введенный в (40,19) тензор представляет собой диссипативную («вязкую») часть тензора напряжений. Тензор же в (40,21) не входит; он представляет собой недиссипативную (помимо связанной с давлением) часть тензора напряжений специфическую для нематической (в отличие от обычной) жидкости.

Обратим также внимание на то, что в диссипативную функцию не входит коэффициент к. Хотя описываемый этим безразмерным коэффициентом эффект имеет явно кинетическую (а не термодинамическую) природу, он не диссипативен.

Плотность объемных сил в движущейся нематической среде

В неподвижной равновесной (хотя и деформированной) среде F = 0, а согласно условию равновесия (36,7) и h = 0. Согласно (40,14-15) при этом сила

Если считать модули упругости постоянными, не зависящими от и S величинами, то и тогда сила Но в равновесии должно быть также и F = 0.

Отсюда следует, что (в указанном предположении) распределение давления вдоль находящейся в равновесии нематической среды дается формулой

(40,22)

Произведем теперь в явном виде упомянутую выше операцию симметризации тензора а. Прежде всего, вычислим в явном виде антисимметричную часть этого тензора. При вычислении разности — надо учесть, что выражение

симметрично по индексам i, k. Проверить эту симметрию непосредственно нелегко. Проще сделать это косвенным путем, воспользовавшись тем, что энергия — скаляр и тем самым инвариантна относительно произвольных вращений системы координат. При бесконечно малом повороте на угол координаты преобразуются как

т. е.

Для изменения вектора и тензора имеем соответственно

Инвариантность функции при этом повороте означает, что . Поскольку — произвольный антисимметричный тензор, то отсюда следует, что — симметричный тензор, что и требовалось доказать.

Имея это в виду, легко привести антисимметричную часть тензора к виду (2,11) с тензором

После этого симметризованный тензор получается непосредственно по формуле (2,13). После некоторых приведений получим

Отметим, что это выражение фактически содержит только поперечные (по индексу k) компоненты тензора Если представить последний в виде

(так что ), то в (40,23) останутся только члены с

Наконец, вернемся к членам с полными дивергенциями, которые мы до сих пор не выписывали. Сравнив (40,18) с (40,11), видим, что выражение, стоящее под знаком в совокупности этих членов, определит собой плотность потока энергии. Приведем здесь получающийся таким образом окончательный результат:

(40,24)

где — тепловая функция. Первый член совпадает с выражением потока энергии в гидродинамике обычной жидкости.