Задачи

1. Определить закон дисперсии упругих волн в кубическом кристалле, распространяющихся а) в кристаллографической плоскости (001) (плоскость грани куба); б) в кристаллографическом направлении [111] (направление диагонали куба).

Решение. В кубическом кристалле отличны от нуля упругие модули (и равные им компоненты тензора с заменой индексов другими из — см. § 10); оси направлены вдоль ребер куба.

а) Выберем плоскость (001) в качестве плоскости х, у и пусть — угол между лежащим в ней волновым вектором к и осью Составив дисперсионное уравнение (23,3) и решив его, найдем три ветви закона дисперсии:

Волна третьей ветви поперечна и поляризована вдоль оси . Волны первых двух ветвей поляризованы в плоскости х, у. Из соображений симметрии очевидно, что скорость распространения всех этих волн тоже лежит в плоскости х, у, поэтому для ее вычисления достаточно полученных выражений.

При (к вдоль оси ) имеем

причем волна 1 продольна (поляризована вдоль оси х), а волна 2 поперечна (поляризована вдоль оси у).

При (к вдоль диагонали грани куба) имеем

Волна 1 продольна, а волна 2 поперечна и поляризована в плоскости х, у.

б) В этом случае волновой вектор имеет компоненты Решение дисперсионного уравнения дает

продольна, волны 2 и 3 поперечны.

2. Определить закон дисперсии упругих волн в кристалле гексагональной системы.

Решение. Гексагональный кристалл имеет пять независимых упругих модулей (см. задачу 1 § 10), для которых введем обозначения:

Ось направлена по оси симметрии шестого порядка, направления же осей х, могут быть выбраны произвольно. Выберем плоскость так, чтобы в ней лежал волновой вектор k. Тогда где — угол между k и осью . Составляя уравнение (23,3) и решая его, найдем

При имеем

волна 3 продольна, волны 1 и 2 поперечны.