§ 33. Вязкость твердых тел

При изучении движения в упругих телах мы до сих пор считали, что процесс деформирования происходит обратимым образом. В действительности процесс термодинамически обратим, только если он происходит с бесконечно малой скоростью, так что в каждый данный момент в теле успевает установиться состояние термодинамического равновесия. Реальное движение происходит, однако, с конечной скоростью, тело не находится в каждый данный момент в равновесии, и поэтому в нем происходят процессы, стремящиеся привести его в равновесное состояние. Наличие этих процессов и приводит к необратимости движения, проявляющейся, в частности, в диссипации механической энергии, переходящей в конце концов в тепло 2).

Диссипация энергии обусловливается процессами двух родов. Во-первых, при неодинаковости температуры в разных местах тела в нем возникают необратимые процессы теплопроводности.

Во-вторых, если в теле происходит какое-нибудь внутреннее движение, то происходят необратимые процессы, связанные с конечностью скорости движения; эти процессы диссипации энергии можно назвать, как и в жидкостях, процессами внутреннего трения или вязкости.

В большинстве случаев скорость макроскопического движения в теле настолько мала, что диссипация энергии незначительна. Такие «почти обратимые» процессы могут быть описаны с помощью так называемой диссипативной функции (см. V, § 121).

Именно, если имеется некоторая механическая система, движение которой сопровождается диссипацией энергии, то движение может быть описано посредством обычных уравнений движения, в которых надо только к действующим на систему силам добавить диссипативные силы или силы трения, являющиеся линейными функциями скоростей. Эти силы могут быть представлены в виде производных по скоростям от некоторой квадратичной функции скоростей, называемой диссипативной функцией R. Сила трения соответствующая какой-нибудь из обобщенных координат системы, имеет тогда вид

Диссипативная функция является существенно положительной квадратичной формой скоростей Написанное соотношение эквивалентно соотношению

где — изменение диссипативной функции при бесконечно малом изменении скоростей. Можно также показать, что удвоенная диссипативная функция определяет уменьшение механической энергии системы в единицу времени.

Легко обобщить соотношение (33,1) на случай движения с трением в сплошном теле. В этом случае состояние системы определяется непрерывным рядом обобщенных координат. Этими координатами является вектор смещения и, заданный в каждой точке тела. Соответственное этому соотношение (33,1) должно быть написано в интегральном виде:

где — диссипативная сила, действующая на единицу объема тела; мы пишем полную диссипативную функцию всего тела в виде , где R — диссипативная функция, отнесенная к единице объема тела.

Определим теперь общий вид диссипативной функции R для деформируемых тел. Функция R, описывающая внутреннее трение, должна обращаться в нуль, если в теле отсутствует внутреннее движение, в частности, если тело совершает только поступательное или вращательное движение как целее.

Другими словами, диссипативная функция должна обращаться в нуль при и при Это значит, что она должна зависеть не от самой скорости, а от ее градиента, причем может содержать лишь такие комбинации производных, которые обращаются в нуль при Таковыми являются суммы

т. е. производные тензора деформации по времени Таким образом, диссипативная функция должна быть квадратичной функцией от Наиболее общий вид такой функции:

(33,3)

Тензор четвертого ранга может быть назван тензором вязкости. Этот тензор обладает следующими очевидными свойствами симметрии а):

(33,4)

Выражение (33.3) аналогично выражению (10,1) для свободной энергии кристаллах вместо тензора упругости в нем стоит теперь тензор а вместо -тензор Поэтому все результаты, полученные в § 10 для тензора в кристаллах различной симметрии, в полной мере относятся и к тензору

В частности, в изотропном теле тензор имеет всего две независимые компоненты и R может быть написано в виде, аналогичном выражению (4,3) для упругой энергии изотропного тела:

где - два коэффициента вязкости. Поскольку -существенно положительная функция, коэффициенты должны быть положительными.

Соотношение (33,2) аналогично соотношению, имеющему место для свободной упругой энергии:

где — сила, действующая на единицу объема тела.

Поэтому выражение для диссипативной силы через тензор может быть написано непосредственно по аналогии с тем, как выражается через

где диссипативный тензор напряжений определяется посредством

Учет вязкости в уравнениях движения может быть осуществлен, следовательно, просто путем замены тензора напряжений в этих уравнениях суммой

В изотропном теле

(33,8)

Это выражение, естественно, формально совпадает с выражением для вязкого тензора напряжений в жидкости.