§ 4. Закон Гука

Для того чтобы иметь возможность применять общие термодинамические соотношения к тем или иным конкретным случаям деформаций, необходимо иметь выражение для свободной энергии тела F как функции от тензора деформации. Это выражение легко получить, воспользовавшись малостью деформаций и соответственно этому разложив свободную энергию в ряд по степеням При этом мы будем пока рассматривать только изотропные тела; соответствующие выражения для кристаллов будут получены ниже, в § 10.

Рассматривая деформированное тело, находящееся при некоторой (постоянной вдоль тела) температуре, мы будем считать недеформированным состояние тела при отсутствии внешних сил при той же температуре (эта оговорка необходима ввиду теплового расширения; см. подробнее § 6). Тогда при должны отсутствовать также и внутренние напряжения, т. е. должны быть . Поскольку то отсюда следует, что в разложении F по степеням должны отсутствовать линейные члены.

Далее, поскольку свободная энергия является величиной скалярной, то и каждый член в разложении F тоже должен быть скаляром. Из компонент симметричного тензора можно составить два независимых скаляра второй степени; в качестве них можно выбрать квадрат суммы диагональных компонент и сумму квадратов всех компонент тензора . Разлагая F по степеням мы получим, следовательно, с точностью до членов второго порядка выражение вида

Это есть общее выражение для свободной энергии деформированного изотропного тела. Величины называют коэффициентами Ламэ.

Мы видели в § 1, что изменение объема при деформации определяется суммой Если эта сумма равна нулю, то это значит, что при деформировании объем данного тела остается неизменным и меняется только его форма. Такие деформации без изменения объема называют сдвигом.

Обратным случаем является деформация, сопровождающаяся изменением объема, но без изменения формы. Каждый элемент объема тела при такой деформации остается подобным самому себе.

Из § 1 следует, что тензор такой деформации имеет вид Такую деформацию называют всесторонним сжатием.

Всякую деформацию можно представить в виде суммы деформаций чистого сдвига и всестороннего сжатия. Для этого достаточно написать тождество

Первый член справа представляет собой, очевидно, чистый сдвиг, поскольку сумма его диагональных членов равна нулю (напоминаем, что Второй же член связан со всесторонним сжатием.

В качестве общего выражения для свободной энергии деформированного изотропного тела удобно написать вместо (4,1) другое, воспользовавшись указанным разложением произвольной деформации на сдвиг и всестороннее сжатие. Именно, выберем в качестве двух независимых скаляров второй степени суммы квадратов компонент соответственно первого и второго членов в (4,2). Тогда F будет иметь вид

Величины называют соответственно модулем всестороннего сжатия и модулем сдвига; К связано с коэффициентами Ламэ соотношением

В состоянии термодинамического равновесия свободная энергия, как известно, минимальна. Если на тело не действуют никакие внешние силы, то F как функция от должно иметь минимум при . Это значит, что квадратичная форма (4,3) должна быть положительна. Если выбрать тензор таким, что то в (4.3) останется только первый член; если же выбрать тензор вида то останется только второй член. Отсюда следует, что необходимым очевидно, достаточным) условием положительности формы (4,3) является положительность каждого из коэффициентов

Таким образом, мы приходим к результату, что модули сжатия и сдвига всегда положительны:

Воспользуемся теперь общим термодинамическим соотношением (3,6) и определим с его помощью тензор напряжений.

Для вычисления производных напишем полный дифференциал (при постоянной температуре). Имеем

Во втором члене умножение первой скобки на дает нуль, так что остается

или, написав в виде

Отсюда имеем для тензора напряжений

(4,6)

Это выражение определяет тензор напряжений через тензор деформации для изотропного тела. Из него видно, что если деформация является чистым сдвигом или чистым всесторонним сжатием, то связь между определяется соответственно одним только модулем сдвига или модулем всестороннего сжатия.

Нетрудно получить и обратные формулы, выражающие через Для этого найдем сумму диагональных членов он. Поскольку для второго члена (4,6) эта сумма обращается в нуль, то или

Подставляя это выражение в (4,6) и определяя оттуда находим

что и определяет тензор деформации по тензору напряжений.

Равенство (4,7) показывает, что относительное изменение объема при всякой деформации изотропного тела зависит только от суммы диагональных компонент тензора напряжений, причем связь между определяется только модулем всестороннего сжатия. При всестороннем (равномерном) сжатии тела тензор напряжений имеет вид Поэтому в этом случае имеем из (4,7):

Поскольку деформации малы, то — малые величины, и мы можем написать отношение относительного изменения объема к давлению в дифференциальном виде; тогда

Величину ПК называют коэффициентом всестороннего сжатия (или просто коэффициентом сжатия).

Из (4,8) мы видим, что тензор деформации является линейной функцией тензора напряжений Другими словами, деформация пропорциональна приложенным к телу силам. Этот закон, имеющий место для малых деформаций, называют законом Гука

Приведем еще полезную форму выражения для свободной энергии деформированного тела, получающуюся непосредственно из квадратичности F по тензору деформации. Согласно теореме Эйлера имеем

откуда, ввиду того что

Если в эту формулу подставить выраженные в виде линейных комбинаций компонент то упругая энергия будет представлена как квадратичная функция величин Снова применяя теорему Эйлера, будем иметь

и сравнение с (4,10) показывает, что

Следует, однако, подчеркнуть, что, в то время как формула является общим термодинамическим соотношением, справедливость обратной формулы (4,11) связана с выполнением закона Гука.