Главная > Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА V. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

§ 31. Уравнение теплопроводности в твердых телах

Неравномерная нагретость твердой среды не приводит к возникновению в ней конвекции, как это обычно имеет место в жидкостях. Поэтому перенос тепла осуществляется здесь одной только теплопроводностью. В связи с этим процессы теплопроводности в твердых телах описываются сравнительно более простыми уравнениями, чем в жидкостях, где они осложняются конвекцией.

Уравнение теплопроводности в твердой среде может быть выведено непосредственно из закона сохранения энергии, выраженного в виде уравнения непрерывности для количества тепла. Количество тепла, поглощаемое в единицу времени в единице объема тела, равно , где S — энтропия единицы объема» Эта величина должна быть приравнена — где q — плотность потока тепла. Этот поток практически всегда пропорционален градиенту температуры, т. е. может быть записан в виде (теплопроводность). Таким образом,

Согласно формуле (6,4) энтропия может быть написана в виде

где а — температурный коэффициент расширения, — энтропия тела в недеформированном состоянии. Будем предполагать, что, как это обычно имеет место, имеющиеся в теле разности температур достаточно малы для того, чтобы можно было считать постоянными такие величины, как и т. п. Тогда уравнение (31,1) после подстановки написанного для S выражения примет вид

Согласно известной термодинамической формуле имеем

Производную от можно написать как

(производная берется при , т. е. при постоянном объеме).

В результате получим уравнение теплопроводности в следующем виде:

Для того чтобы получить полную систему уравнений, надо присоединить сюда еще уравнение, определяющее деформацию неравномерно нагретого тела. Этим уравнением является уравнение равновесия (7,8)

(31,3)

Из уравнения (31,3) может быть определена, в принципе, деформация тела при произвольно заданном распределении температуры. Подстановка полученного таким образом для и выражения в уравнение (31,2) приведет к уравнению, определяющему распределение температуры, в котором неизвестной функцией является одна только T(х, у, r, t).

Рассмотрим, например, теплопроводность в неограниченной твердой среде с распределением температуры, удовлетворяющим только одному условию: на бесконечности температура стремится к постоянному пределу и деформация отсутствует. В таком случае уравнение (31,3) приводит к следующей зависимости между и и Т (см. задачу 8 § 7):

Подставляя это выражение в (31,2), получим уравнение

типа простого уравнения теплопроводности.

Уравнением такого же тина описывается и распределение температуры вдоль длины тонкого прямого стержня, если хотя бы один из его концов не закреплен. Распределение температуры вдоль каждого из поперечных сечений стержня можно считать постоянным, так что Т будет функцией только от координаты х вдоль его длины (и от времени). Тепловое расширение такого стержня приводит только к изменению его длины без изменения прямолинейной формы и без возникновения внутренних напряжений в нем. Ясно поэтому, что производная в общем уравнении (31,1) должна браться при постоянном давлении, и поскольку , то распределение температуры будет описываться одномерным уравнением теплопроводности

Надо, впрочем, отметить, что с практически достаточной точностью распределение температуры в твердом теле может всегда определяться простым уравнением теплопроводности.

Дело в том, что второй член в левой стороне уравнения (31,2) представляет собой поправку порядка по сравнению с первым членом. Но у твердых тел разница между различными теплоемкостями обычно весьма мала, и если пренебрегать ею, то уравнение теплопроводности в твердых телах можно всегда писать в виде

где — есть температуропроводность, определяемая как отношение — коэффициента к к некоторой средней теплоемкости С единицы объема.

1
Оглавление
email@scask.ru