ГЛАВА V. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

§ 31. Уравнение теплопроводности в твердых телах

Неравномерная нагретость твердой среды не приводит к возникновению в ней конвекции, как это обычно имеет место в жидкостях. Поэтому перенос тепла осуществляется здесь одной только теплопроводностью. В связи с этим процессы теплопроводности в твердых телах описываются сравнительно более простыми уравнениями, чем в жидкостях, где они осложняются конвекцией.

Уравнение теплопроводности в твердой среде может быть выведено непосредственно из закона сохранения энергии, выраженного в виде уравнения непрерывности для количества тепла. Количество тепла, поглощаемое в единицу времени в единице объема тела, равно , где S — энтропия единицы объема» Эта величина должна быть приравнена — где q — плотность потока тепла. Этот поток практически всегда пропорционален градиенту температуры, т. е. может быть записан в виде ( — теплопроводность). Таким образом,

Согласно формуле (6,4) энтропия может быть написана в виде

где а — температурный коэффициент расширения, — энтропия тела в недеформированном состоянии. Будем предполагать, что, как это обычно имеет место, имеющиеся в теле разности температур достаточно малы для того, чтобы можно было считать постоянными такие величины, как и т. п. Тогда уравнение (31,1) после подстановки написанного для S выражения примет вид

Согласно известной термодинамической формуле имеем

Производную от можно написать как

(производная берется при , т. е. при постоянном объеме).

В результате получим уравнение теплопроводности в следующем виде:

Для того чтобы получить полную систему уравнений, надо присоединить сюда еще уравнение, определяющее деформацию неравномерно нагретого тела. Этим уравнением является уравнение равновесия (7,8)

(31,3)

Из уравнения (31,3) может быть определена, в принципе, деформация тела при произвольно заданном распределении температуры. Подстановка полученного таким образом для и выражения в уравнение (31,2) приведет к уравнению, определяющему распределение температуры, в котором неизвестной функцией является одна только T(х, у, r, t).

Рассмотрим, например, теплопроводность в неограниченной твердой среде с распределением температуры, удовлетворяющим только одному условию: на бесконечности температура стремится к постоянному пределу и деформация отсутствует. В таком случае уравнение (31,3) приводит к следующей зависимости между и и Т (см. задачу 8 § 7):

Подставляя это выражение в (31,2), получим уравнение

типа простого уравнения теплопроводности.

Уравнением такого же тина описывается и распределение температуры вдоль длины тонкого прямого стержня, если хотя бы один из его концов не закреплен. Распределение температуры вдоль каждого из поперечных сечений стержня можно считать постоянным, так что Т будет функцией только от координаты х вдоль его длины (и от времени). Тепловое расширение такого стержня приводит только к изменению его длины без изменения прямолинейной формы и без возникновения внутренних напряжений в нем. Ясно поэтому, что производная в общем уравнении (31,1) должна браться при постоянном давлении, и поскольку , то распределение температуры будет описываться одномерным уравнением теплопроводности

Надо, впрочем, отметить, что с практически достаточной точностью распределение температуры в твердом теле может всегда определяться простым уравнением теплопроводности.

Дело в том, что второй член в левой стороне уравнения (31,2) представляет собой поправку порядка по сравнению с первым членом. Но у твердых тел разница между различными теплоемкостями обычно весьма мала, и если пренебрегать ею, то уравнение теплопроводности в твердых телах можно всегда писать в виде

где — есть температуропроводность, определяемая как отношение — коэффициента к к некоторой средней теплоемкости С единицы объема.