§ 23. Упругие волны в кристаллах

Распространение упругих волн в анизотропной среде, т. е. в кристаллах, подчиняется более сложным закономерностям, чем распространение волн в изотропном теле. Для исследования таких волн надо обратиться к общим уравнениям движения

и воспользоваться для общим выражением (10,3)

Соответственно сказанному в начале предыдущего параграфа под везде подразумевать адиабатические значения модулей упругости.

Подставляя в уравнения движения, получаем

Поскольку тензор симметричен по индексам , то, меняя во втором члене обозначение индексов суммирования и на обратное, находим, что первый и второй члены тождественны. Таким образом, получаем уравнения движения в виде

Рассмотрим монохроматическую упругую волну в кристалле. Для этого мы должны искать решение уравнений движения в виде

( — постоянные), причем соотношение между волновым вектором к и частотой должно быть определено так, чтобы написанная функция действительно удовлетворяла уравнению (23,1). Дифференцирование по времени приводит к умножению а дифференцирование по к умножению на . Поэтому уравнение (23,1) после подстановки превращается в

Написав переписываем это равенство в виде

(23,2)

Это — система трех однородных уравнений первой степени относительно неизвестных Как известно, такая система имеет отличные от нуля решения лишь при условии равенства нулю определитёля коэффициентов уравнений

Этим уравнением определяется зависимость частоты волны волнового вектора; об этой зависимости говорят как о законе дисперсии волн, а определяющее его уравнение называют дисперсионным. Уравнение (23,3) — третьей степейи по Оно имеет три, вообще говоря, различных корня — три, как говорят, ветви закона дисперсии. Подставляя поочередно каждый из этих корней обратно в уравнения (23,2) и решая их, мы найдем направления вектора смещения и в этих волнах, — как говорят, направления их поляризации (в силу своей однородности, уравнения (23,2) не определяют, конечно, абсолютной величины вектора , остающейся произвольной).

Направления поляризации трех волн с одним и тем же волновым вектором к взаимно перпендикулярны. Это важное утверждение следует прямо из того, что уравнение (23,3) можно рассматривать как уравнение, определяющее главные значения симметричного тензора второго ранга уравнения же (23,2) определяют главные направления этого тензора, которые, как известно, взаимно перпендикулярны. Ни одно из этих направлений, однако, не является, вообще говоря, ни чисто продольным, ни чисто поперечным по отношению к направлению к.

Скорость распространения волны (ее групповая скорость) дается производной

(см. VI, § 67). В изотропной среде зависимость сводится к пропорциональности абсолютному значению k, и потому направление этой скорости совпадает с направлением волнового вектора. В кристаллах это не так, и направление распространения волны не совпадает, вообще говоря, с направлением k. Векторы k и I) коллинеарны для некоторых исключительных направлений осей симметрии кристалла.

Из дисперсионного уравнения (23,3) видно, что в кристалле является однородной функцией первого порядка от компонент вектора k (если ввести в качестве неизвестной величины отношение , то коэффициенты уравнения не зависят от k). Поэтому скорость U — однородная функция нулевого порядка от Другими словами, скорость распространения волны, являясь функцией ее направления, не зависит от частоты.

Если построить в k-пространстве (т. е. в координатах ) поверхность постоянной частоты, (для какой-либо из ветвей закона дисперсии), то направление вектора (23,4) совпадает с нормалью к поверхности. Очевидно, что если эта поверхность всюду выпуклая, то связь между направлениями U и к взаимно однозначна: каждому направлению k отвечает одно определенное направление U и наоборот. Если же поверхность постоянной частоты не всюду выпукла, то эта связь становится не взаимно однозначной; каждому направлению k по-прежнему отвечает (в данной ветви закона дисперсии) одно направление U, но заданное направление U может осуществляться с различными направлениями k.