Задача

1. Найти фазовые скорости акустических воли в смектиках при произвольном соотношении между модулями А, В, С.

Решение. Продифференцировав уравнение (47,3) по t и исключив производные с помощью (47,1-2), получим уравнение

Для плоской волны, в которой это уравнение сводится к соотношению

(1)

Пусть волновой вектор k расположен в плоскости . Тогда из (1) следует, что и скорость v находится в той же плоскости, а и -компоненты дают систему двух уравнений

где — скорость волны, а угол между к и осью . Приравняв нулю определитель этой системы, получим дисперсионное уравнение

Ббльший и меньший корни этого квадратного (по ) уравнения определяют скорости . В частности

Скорость же в этих направлениях обращается в нуль,

2. С учетом диссипации определить закон дисперсии второй акустической ветви при распространении в плоскости слоев

Решение. В условиях задачи скорость v направлена по оси , а все величины зависят от Проецируя уравнение (46,13) на ось , получаем

(2)

С помощью (41,7) находим

Легко проверить, что ввиду малости параметра можно пренебречь левой стороной (2), а эффекты просачивания при малых k несущественны, так что Окончательно получаем закон дисперсии:

3. То же для распространения перпендикулярно плоскости слоев Решение. Условие несжимаемости приводит в этом случае к тому, что и движение смектика происходит только путем просачивания. Из (46,5) и (46,14) имеем тогда

или

Мы пренебрегли в (46,14) членом с градиентом температуры. Это возможно, если температура релаксирует быстрее, чем смещение а, т. е. если . В этом случае, однако, нужно понимать под В изотермический модуль упругости.