Задачи

1. Определить форму прогиба стержня (длины l) под влиянием собственного веса при различных способах закрепления его концов.

Решение. Искомая форма определяется решением уравнения

( — вес единицы длины стержня) с теми или другими граничными условиями на его концах, сформулированными в тексте.

При различных способах закрепления концов стержня получаются следующие формы прогиба и максимальные смещения (так называемые стрелки прогиба); начало координат везде выбрано в одном из концов стержня.

а) Оба конца стержня заделаны:

б) Оба конца оперты:

в) Один конец ) заделан, а другой оперт:

г) Один конец заделан, а другой свободен;

2. Определить форму прогиба стержня под влиянием приложенной к его середине сосредоточенной силы

Решение, Везде, кроме точки имеем уравнение Граничные условия в концах стержня ) определяются способом закрепления; в точке же должны быть непрерывны , а разность перерезывающих сил по обе стороны этой точки должна быть равна силе

Форма стержня (на участке ) и стрелка прогиба даются следующими формулами.

а) Оба конца стержня заделаны:

Оба конца стержня оперты:

Форма стержня симметрична относительно его середины, так что функция на участке получается отсюда просто заменой на .

3. То же для стержня, один из концов которого заделан, а другой свободен, причем к последнему приложена сосредоточенная сила

Решение. Вдоль всего стержня так что . С условиями при и при получаем

4. Определить форму прогиба стержня с закрепленными концами под влия нием сосредоточенной пары сил, приложенной к его середине.

Решение. Вдоль всей длины стержня а в точке момент испытывает скачок, равный моменту m приложенной сосредоточенной пары. С соответствующими условиями на концах получим:

а) Оба конца стержня заделаны:

б) Оба конца закреплены в шарнирах:

По обе стороны от точки стержень изогнут в разные стороны.

5. То же, если сосредоточенная пара приложена к свободному концу стержня, другой конец которого заделан.

Решение. Вдоль всей длины стержня имеем а в точке Форма изгиба дается формулой

6. Определить форму стержня (кругового сечения) с закрепленными в шарнирах концами, растягиваемого силой Т и изгибаемого силой приложенной к его середине.

Решение. На отрезке перерезывающая сила равна так что (20,15) дает уравнение

Граничные условия: при а при должно быть (в силу непрерывности ). Для формы стержня (на отрезке 1/2) получим формулу

При малых k это выражение переходит в формулу, полученную в задаче 2, б. При больших же значениях k оно переходит в

т. е. в согласии с уравнением (20.17), гибкая нить принимает под влиянием силы f форму, составленную из двух прямых отрезков, пересекающихся в точке

Если сила Т сама возникает в результате растяжения стержня поперечной силой, то для ее определения надо воспользоваться формулой (20,16). Подставив в нее полученное выражение, найдем уравнение

определяющее в неявном виде Т как функцию от

7. Стержень (кругового сечения) бесконечной длины лежит на упругом основании, т. е. при изгибе на него действует сила пропорциональная прогибу. Определить форму, принимаемую стержнем при действии на него сосредоточенной силы

Решение. Выбираем начало координат в точке приложения силы Везде, кроме точки имеет место уравнение

Решение должно удовлетворять условиям при а при должны быть непрерывны , разность же значений перерезывающей силы при должна быть равна f. Такое решение есть

8. Вывести уравнение равновесия для слабого изгиба тонкого стержня (кругового сечения), имеющего в своем естественном состоянии форму дуги окружности и изгибаемого в своей плоскости приложенными к нему радиальными силами.

Решение, Выбирая начало полярных координат в центре окружности, напишем уравнение деформированной линии стержня в виде где а — радиус дуги, а малые радиальные смещения при изгибе. Воспользовавшись известным выражением для радиуса кривизны в полярных координатах, найдем с точностью до членов первого порядка по

( означает дифференцирование по ). Согласно (18,11) находим упругую энергию изгиба:

( — центральный угол дуги). Уравнение равновесия получается из вариационного принципа

— отнесенная к единице длины внешняя радиальная сила) с дополнительным условием

выражающим собой в рассматриваемом приближении условие неизменности общей длины периметра стержня, т. е. условие отсутствия общего его растяжения, Следуя методу Лагранжа, приравниваем нулю сумму

где а — постоянная. Производя варьирование в подынтегральном выражении в и интегрируя член с дважды по частям, получим

Отсюда находим уравнение равновесия

выражение для перерезывающей силы

и выражение для изгибающего момента

(ср. конец § 20), Постоянная а определяется условием отсутствия общего растяжения стержня.

9. Определить деформацию кругового кольца, изгибаемого двумя сосредоточенными силами действующими вдоль диаметра (рис. 18).

Рис. 18

Решение. Интегрируя уравнение (1) по всей длине кольца, найдем, что

Везде, кроме точек имеем уравнение

Искомая деформация кольца симметрична относительно диаметров АВ и CD, в силу чего в точках А, В, С, D должно быть Разность значений перерезывающей силы при должна быть равна Удовлетворяющее этим условиям решение уравнения равновесия есть

В частности, точки А и В взаимно сближаются на величину