§ 34. Поглощение звука в твердых телах

Коэффициент поглощения звука в твердых телах может быть вычислен вполне аналогично тому, как это делается для жидкостей (см. VI, § 79). Произведем здесь соответствующие вычисления для изотропного тела.

Диссипация механической энергии в теле дается суммой

где первый член обусловлен теплопроводностью, а второй — вязкостью. Воспользовавшись выражением (33,5), имеем, таким образом, формулу

Для вычисления градиента температуры пользуемся тем, что звуковые колебания в первом приближении адиабатичны. С помощью выражения (6,4) для энтропии пишем условие адиабатичности в виде

где — температура в недеформированном состоянии. Разлагая разность в ряд по степеням имеем с точностью до членов первого порядка

(производная от энтропии берется при т. е. при постоянном объеме).

Таким образом, имеем

Воспользовавшись также соотношениями

переписываем это выражение в виде

Рассмотрим сначала поглощение поперечных упругих волн. Теплопроводность вообще не может привести к поглощению таких волн (в рассматриваемом приближении). Действительно, в поперечной волне и потому температура в ней, согласно (34,2), постоянна. Пусть направление распространения волны выбрано в качестве оси тогда

и из компонент тензора деформации отличны от нуля только

Будем относить диссипацию энергии к единице объема тела; для среднего (по времени) значения этой величины получаем из (34,1)

где мы подставили Полная же средняя энергия волны равна удвоенной средней кинетической энергии; относя эту величину тоже к единице объема, получим

Коэффициент поглощения звука определяется как отношение средней диссипации энергии к удвоенному среднему потоку энергии в волне; эта величина определяет закон изменения амплитуды волны с расстоянием, убывающей пропорционально Таким образом, находим для коэффициента поглощения поперечных волн следующее выражение:

В продольной звуковой волне Аналогичное вычисление с помощью формул (34,1) и (34,2) приводит к результату:

Эти формулы относятся, строго говоря, лишь к полностью изотропным аморфным телам. По порядку величины они, однако, определяют закон поглощения звука также и в анизотропных монокристаллах.

Своеобразные особенности представляет поглощение звука в поликристаллических телах. Если длина волны звука к мала по сравнению с размерами а отдельных кристаллитов, то в каждом кристаллите звук поглощается так же, как он поглощался бы в большом кристалле, и коэффициент пбглощения пропорционален .

Если же то характер поглощения меняется. В такой волне можно считать, что каждый кристаллит подвергается воздействию однородно распределенного давления. Но ввиду анизотропии кристаллитов и граничных условий на поверхностях их соприкосновения возникающая при этом деформация неоднородна. Она будет испытывать существенные изменения (изменение порядка величины ее самой) на протяжении размеров кристаллита, а не на протяжении длины волны, как это было бы в однородном теле. Для поглощения звука существенны скорости изменения деформации и возникающие градиенты температуры. Из них первые будут иметь по-прежнему обычный порядок величины. Градиенты же температуры в пределах каждого кристаллита аномально велики. Поэтому поглощение звука, обусловленное теплопроводностью, будет велико по сравнению с поглощением, связанным с вязкостью, и достаточно вычислить только первое.

Рассмотрим два различных предельных случая. Время, в течение которого происходит выравнивание температур на расстояниях путем теплопроводности (время релаксации для теплопроводности), — порядка величины Предположим сначала, что Это значит, что время релаксации мало по сравнению с периодом колебаний в волне, и потому тепловое равновесие в пределах каждого кристаллита в значительной степени успевает установиться; мы имеем здесь дело с почти изотермическими колебаниями.

Пусть Т — возникающие в кристаллите разности температур, а — разности, которые возникли бы при адиабатическом процессе. Расход тепла путем теплопроводности (на единицу объёма) есть

Количество же тепла, выделяющееся при деформации, — порядка величины (С — теплоемкость). Приравнивая эти два выражения, получим

Температура испытывает изменение на протяжении размеров кристаллита, так что ее градиент Наконец, То находим из (34,2), где надо положить (и—амплитуда вектора смещения):

(оценивая порядки величин, мы, естественно, не отличаем различные скорости звука с). С помощью этих результатов вычисляем диссипацию энергии в единице объема:

и, разделив ее поток энергии получим искомый коэффициент затухания

(С. Zener, 1938). Сравнивая это выражение с обычным выражением (34,3) и (34,4), мы можем сказать, что в рассматриваемом случае поглощение звука поликристаллическим телом происходит так, как если бы оно обладало вязкостью

гораздо большей, чем истинная вязкость составляющих его кристаллитов.

Далее, рассмотрим обратный предельный случай, когда Другими словами, время релаксации велико по сравнению с периодом колебаний в волне, и за время каждого периода не успевает произойти заметное выравнивание возникающих при деформации разностей температур. Было бы, однако, неправильным считать, что определяющие поглощёние звука градиенты температуры порядка величины ТУ а. Тем самым мы учитывали бы лишь процесс теплопроводности внутри каждого кристаллита. Между тем основную роль в данном случае должен играть теплообмен между соседними кристаллами (М. А. Исакович, 1948). Если бы кристаллиты были теплоизолированы друг от друга, то на границе между ними создавались бы разности температур того же порядка величины То, что и разности температур в пределах отдельного кристаллита. В действительности же граничные условия требуют непрерывности температуры при переходе через поверхности соприкосновения между кристаллитами.

В результате возникают «распространяющиеся» от границ внутрь кристаллита «температурные волны», затухающие на расстоянии

В рассматриваемом случае , т. е. основной градиент температуры — порядка величины и имеет место на расстояниях, малых по сравнению с общими размерами кристаллита. Соответствующая часть объема кристаллита относя ее к полному объему найдем среднюю диссипацию энергии:

Подставив для выражение (34,5) и разделив на получим искомый коэффициент поглощения

Он оказывается пропорциональным корню из частоты

Таким образом, коэффициент поглощения звука в поликристаллическом теле при самых малых частотах () меняется как затем в области он меняется пропорционально а при коэффициент поглощения снова пропорционален

Аналогичные соображения относятся и к затуханию поперечных волн в тонких стержнях и пластинках. Если h есть толщина стержня или пластинки, то при существен градиент температуры в поперечном направлении и затухание обусловлено в основном теплопроводностью (см. задачи этого параграфа). Если при этом выполняется неравенство , то колебания можно считать изотермическими; поэтому при определении, например, частот собственных колебаний стержня или пластинки надо в этом случае пользоваться изотермическими значениями модулей упругости.