§ 15. Деформации оболочек

Говоря до сих пор о деформациях тонких пластинок, мы всегда подразумевали, что в недеформированном состоянии пластинка является плоской. Между тем деформации пластинок, обладающих в своем естественном состоянии искривленной формой (такие пластинки называют оболочками), обнаруживают особенности, принципиально отличающие их от деформаций плоских пластинок.

Растяжение, сопровождающее изгиб плоской пластинки, является эффектом второго порядка малости по сравнению с величиной самого прогиба. Это проявляется например, в том, что тензор деформации (14,1), определяющий такое растяжение, квадратичен по . Совершенно иное положение имеет место при деформациях оболочек: здесь растяжение есть эффект первого порядка и потому играет существенную роль даже при слабом изгибе. Проще всего это свойство видно уже из самого простого примера равномерного растяжения сферической оболочки. Если все ее точки подвергаются одинаковому радиальному смещению , то увеличение длины экватора равно Относительное растяжение а потому и тензор деформации пропорционален первой степени . Этот эффект стремится к нулю при , т. е. при стремлении кривизны к нулю, и является, таким образом, специфическим свойством, связанным с кривизной оболочки.

Пусть R есть порядок величины радиуса кривизны оболочки, совпадающей обычно с порядком величины ее размеров. Тогда тензор деформации растяжения, сопровождающего изгиб, — порядка соответствующий тензор напряжений а энергия деформации (отнесенная к единице площади), согласно (14,2), . Энергия же чистого изгиба по-прежнему Мы видим, что отношение первой ко второй т. е. очень велико. Подчеркнем, что это имеет место независимо от соотношения между величиной изгиба и толщиной h, в то время как при изгибе плоских пластинок растяжение начинало играть роль только при .

В некоторых случаях может существовать особый тип изгиба оболочек, при котором никакого растяжения не происходит вовсе. Так, например, цилиндрическая оболочка (с открытыми обоими концами цилиндра) может быть деформирована без растяжения, если все образующие цилиндра остаются при изгибе параллельными друг другу (т. е. оболочка как бы вдавливается по какой-нибудь из образующих).

Такие деформации без растяжения геометрически возможны, если оболочка имеет свободные края (т. е. не замкнута) или же если оболочка замкнута, но ее кривизна в разных местах имеет разный знак. Например, замкнутая сферическая оболочка не может быть изогнута без растяжения, если же в ней прорезано отверстие (причем его края не закреплены), то такие деформации становятся возможными. Поскольку энергия чистого изгиба мала по сравнению с энергией растяжения, то ясно, что если данная оболочка допускает деформации без растяжения, то именно такие деформации и будут, вообще говоря, реально осуществляться при воздействии на нее произвольных внешних сил. Требование отсутствия растяжения при изгибе накладывает существенные ограничения на возможные смещения . Эти условия являются чисто геометрическими и могут быть выражены в виде дифференциальных уравнений, которые должны содержаться в полной системе уравнений равновесия для таких деформаций. Мы не будем здесь останавливаться на этом вопросе.

Если же деформация оболочки сопровождается растяжением, то напряжения растяжения, вообще говоря, велики по сравнению с напряжениями изгиба и последними можно пренебречь (основанную на таком пренебрежении теорию оболочек называют мембранной).

Энергия растяжения оболочки может быть вычислена как интеграл

взятый по ее поверхности. Здесь есть двухмерный тензор деформации в соответствующих криволинейных координатах, а тензор напряжений связан с формулами (13,2), которые могут быть написаны в двухмерных тензорных обозначениях как

Особого рассмотрения требует случай, когда оболочка подвержена воздействию сосредоточенных сил в поперечном к оболочке направлении. Такими силами могут являться, в частности, силы реакции, действующие на оболочку со стороны опор в точках (или линиях) закрепления. Сосредоточенные силы производят изгиб оболочки в небольшой области вокруг точек их приложения. Пусть порядок величины этой области для приложенной в точке силы есть d (так что ее площадь ). Поскольку изгиб сильно меняется на протяжении расстояний d, то энергия изгиба (на единицу площади) — порядка величины а полная энергия изгиба (на площади ) Тензор же деформации растяжения по-прежнему и полная энергия вызванного сосредоточенной силой растяжения

Поскольку энергия изгиба растет, а энергия растяжения падает с уменьшением d, то ясно, что при определении деформации вблизи места приложения сосредоточенных сил должны быть учтены обе эти энергии. Величина области изгиба d определится по порядку величины из условия минимума суммы этих энергий, откуда

При этом энергия Варьируя ее по С и приравнивая работе силы найдем величину прогиба

Однако если действующие на оболочку силы достаточно велики, то в оболочке могут возникнуть выпучивания, существенно меняющие ее форму. Определение деформации в зависимости от приложенных нагрузок требует в этом своеобразном случае специального исследования.

Рис. 9

Пусть выпуклая оболочка (с краями, закрепленными так, чтобы гарантировать ее геометрическую несгибаемость) находится под действием большой сосредоточенной силы f, направленной по внутренней нормали к поверхности. Для простоты будем считать, что оболочка представляет собой часть сферы радиуса R. Область выпучивания будет шаровым сегментом, близким к зеркальному изображению его первоначальной формы (на рис. 9 изображен меридиональный разрез оболочки). Задача состоит в определении размеров выпучивания в зависимости от величины силы.

Основная часть упругой энергии сконцентрирована в узкой полосе вблизи края области выпучивания, где изгиб оболочки сравнительно велик (будем называть ее полосой изгиба и обозначим ее ширину через d). Оценим эту энергию, причем будем предполагать размеры (радиус) области выпучивания тогда угол (см. рис. 9). При этом а глубина прогиба Обозначим посредством смещение точек оболочки в полосе изгиба.

Точно так же, как это было сделано выше, находим, что энергия изгиба вдоль меридиана и растяжения вдоль параллели, отнесенные к поверхности, по порядку величины равны соответственно

Порядок величины смещения определяется в данном случае геометрически направление меридиана меняется на ширине d на угол и потому Умножив также на площадь полосы изгиба получим энергии

Из условия минимальности их суммы снова найдем а полная упругая энергия при этом или, иначе

(15,4)

В произведенном выводе подразумевалось, что ; поэтому формула (15,4) справедлива при условии

При образовании выпучивания внешние слои шарового сегмента становятся внутренними и соответственно сжимаются, а внутренние — внешними и растягиваются. Относительное растяжение (или сжатие) так что связанная с ним полная энергия в области выпучивания При условии (15,5) она действительно мала по сравнению с энергией в полосе изгиба (15,4).

Искомая зависимость между глубиной прогиба и приложенной силой получится приравниванием к производной от энергии (15.4) по . Таким образом, найдем

Обратим внимание на нелинейный характер этой зависимости.

Наконец, пусть деформация (выпучивание) оболочки происходит под действием равномерного внешнего давления . Работа внешних сил в таком случае равна где — изменение ограничиваемого оболочкой объема при выпучивании. Приравняв нулю производную по Я от полной свободной энергии (т. е. упругой энергии (15,4) за вычетом указанной работы), получим

Обратный характер зависимости (увеличение Я при уменьшении ) указывает на неустойчивость выпученного состояния в этом случае. Определяемое формулой (15,7) значение отвечает неустойчивому равновесию при заданном : выпучивания с большими значениями самопроизвольно растут, а с меньшими — уменьшаются (легко проверить, что (15,7) отвечает максимуму, а не минимуму полной свободной энергии).

Существует такое критическое значение внешней нагрузки за которым самопроизвольно возрастают уже малые изменения формы оболочки. Его можно оценить как то значение , при котором формула (15,7) дает

Мы ограничимся в теории оболочек изложенными краткими сведениями и некоторыми простыми примерами, приведенными в задачах к этому параграфу.