Задачи

1. Определить критическую сжимающую силу для стержня с шарнирно закрепленными концами.

Решение. Поскольку нас интересует наименьшее значение при котором появляется отличное от нуля решение уравнений (21,1), то достаточно рассмотреть лишь то из этих двух уравнений, которое содержит меньшее из пусть Ищем решение уравнения

в виде

Отличное от нуля решение, удовлетворяющее условиям при есть

причем должно быть Отсюда находим искомую критическую силу

После потери устойчивости стержень примет форму, изображенную на рис. 19, а.

2. То же для стержня с заделанными концами (рис. 19, б).

Решение.

3. То же для стержня, один из концов которого заделан, а другой свободен (рис. 19, в).

Решение.

4. Определить критическую сжимающую силу для стержня (кругового сечения) с шарнирно закрепленными концами, лежащего на упругом основании (см. задачу 7 § 20).

Решение. Вместо уравнений (21,1) здесь надо рассмвтреть уравнение

Аналогичное исследование приводит к решению

причем для должно быть взято то из целых значений, для которого получается наименьшее значение 7. При достаточно больших значениях а получается т. е. после потери устойчивости стержень принимает форму с несколькими пучностями.

5. Стержень кругового сечения подвергнут кручению, и его концы заделаны. Определить критическую величину кручения, после которой прямолинейная форма стержня делается неустойчивой.

Решение. Критическое значение угла кручения определяется появлением отличных от нуля решений уравнений слабого изгиба закрученного стержня. Для вывода этих уравнений подставляем выражение (19,7):

( — постоянный угол кручения) в уравнение (19,3); это дает

Рис. 19

Дифференцируем это уравнение; поскольку изгиб слабый, то при дифференцировании первого и третьего членов можно считать t постоянным, равным вектору направленному по оси стержня (оси ). Помня также, что (внешние силы по длине стержня отсутствуют), получаем

или в компонентах:

где Введя в качестве неизвестной функцию получим уравнение

Ищем решение, удовлетворяющее условиям при в виде

и находим в качестве условия совместности для получающихся для а и b уравнений соотношение

Наименьший корень этого уравнения: так что

6. То же для стержня с шарнирно закрепленными концами.

Решение Здесь получается

причем определяется из Поэтому искомый критический угол кручения

7. Определить предел устойчивости вертикального стержня, находящегося под действием собственного веса; нижний конец стержня заделан.

Решение. Если продольное натяжение меняется вдоль длины стержня, то в первом члене в (20,1) и вместо уравнений (20,14) получается

В данном случае поперечные изгибающие силы отсутствуют по всей длине стержня, , где q — вес единицы длины стержня, отсчитывается от его нижнего конца. Предполагая, что рассматриваем уравнение

(при автоматически имеем Общий интеграл этого уравнения для функции есть

где

Граничные условия при при дают для функции и условия

Для того чтобы удовлетворить этим условиям, надо положить причем Наименьший корень этого уравнения откуда находим критическую длину стержня

8. Стержень обладает вытянутой формой поперечного сечения, так что Один конец стержня заделан, а к свободному концу приложена сила изгибающая его в главной плоскости (в которой жесткость на изгиб есть ). Определить критическое значение после которого плоская форма изгиба становится неустойчивой и стержень отгибается в боковую сторону (в плоскости ), одновременно испытывая кручение.

Решение. Ввиду большой величины жесткости по, сравнению с (и с жесткостью на кручение С) неустойчивость по отношению сильному боковому изгибу возникает в то время, когда изгиб в плоскости остается еще слабым. Для определения момента наступления неустойчивости надо составить уравнения слабого бокового изгиба стержня, сохраняя в них члены, пропорциональные произведениям действующей в плоскости силы на малые смещения. Поскольку сосредоточенная сила приложена лищь к свободному концу стержня, то вдоль всей его длины а на свободном конце момент по формуле (19,6) находим компоненты момента относительно закрепленной системы координат ;

где . Проецируем эти моменты на связанные в каждрй точке со стержнем оси координат ; с точностью до членов первого порядка по смещениям получим

где — полный угол поворота сечения стержня при его зачсручивании (угол кручения здесь не постоянен вдоль длины стержня). С другой стороны, согласно (18,6) и (18,9) имеем при слабом изгибе

и, сравнивая эти выражения, получим уравнения равновесия

Первое из этих уравнений определяет основной изгиб стержня в плоскости ; требуется найти значение при котором появляется отличное от нуля решение у второго и третьего уравнений. Исключая из них Y, найдем

Общий интеграл этого уравнения есть

На заделанном конце должно быть а на свободном крутящий момент Из второго условия имеем а первое дает .

Наименьший корень этого уравнения: откуда