§ 9. Соприкосновение твердых тел

Пусть два твердых тела соприкасаются друг с другом в точке, не являющейся особой точкой их поверхностей (на рис. 1, а изображен разрез через обе поверхности вблизи точки соприкосновения О). В этой точке обе поверхности имеют общую касательную плоскость, которую мы выберем в качестве плоскости х, у. Положительное же направление оси 2 условимся считать различным для обоих тел, — для каждого из них будем отсчитывать -координату по направлению в глубь тела, обозначая ее соответственно как .

Как известно, вблизи обыкновенной точки касания координатной плоскости (плоскости уравнение поверхности может быть написано в виде

где по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование по значениям есть двухмерный симметрический тензор, характеризующий кривизну поверхности (главные значения тензора равны где — главные радиусы кривизны поверхности в точке касания).

Рис. 1

Аналогичное соотношение для поверхности второго тела вблизи точки соприкосновения напишем в виде

Предположим теперь, что оба тела сдавливаются приложенными к ним силами, в результате чего они сближаются на некоторое малое расстояние

Тогда вблизи точки первоначального соприкосновения на поверхности тел возникает вмятина, и тела будут соприкасаться уже не в одной точке, а по некоторому малому, но конечному участку их поверхности. Пусть — компоненты (соответственно по осям ) векторов смещения точек поверхностей обоих тел при сдавливании. На рис. 1, б пунктиром изображены поверхности тел, какими они были бы при отсутствии деформации, а сплошной линией — поверхности сдавленных тел; буквы обозначают длины, определяемые равенствами (9,1) и (9,2). Как непосредственно видно из рисунка, во всех точках области соприкосновения имеет место равенство

или

В точках же вне этой области, где поверхности не соприкасаются, имеет место неравенство

Выберем направления осей у таким образом, чтобы тензор был приведен к главным осям. Обозначая главные значения этого тензора посредством Л и В, перепишем равенство (9,3) в виде

Величины А и В связаны с радиусами кривизны обеих поверхностей следующими формулами, которые приведем без вывода:

где — угол между теми нормальными сечениями поверхностей, в которых радиусы кривизны —

Знаки радиусов кривизны предполагаются положительными, если соответствующие центры кривизны расположены внутри соответствующего тела, и отрицательными — в обратном случае.

Обозначим посредством давление между обоими сдавленными телами в точках их соприкосновения (вне области соприкосновения, разумеется, При определении зависимости между и смещениями можно с достаточной точностью рассматривать поверхности тел как плоские и воспользоваться полученными в предыдущем параграфе формулами. Согласно третьей из формул (8,19) (учитывая также (8,14)) смещение под влиянием нормальных сил определяется выражениями

( — коэффициенты Пуассона и модули растяжения обоих тел); поскольку вне области соприкосновения то интегрирование производится здесь только по этой области. Заметим, что из этих формул следует, что отношение постоянно и равно

Соотношения (9,4) и (9,6) вместе непосредственно определяют распределение деформации по области соприкосновения (сами же формулы (9,5) и (9,6) относятся, конечно, и к точкам вне этой области).

Подставив выражения (9,5) в (9,4), получим

Это интегральное уравнение определяет распределение давления по области соприкосновения. Его решение может быть найдено из аналогии со следующими известными из теории потенциала соотношениями. На мысль воспользоваться этой аналогией наводит тот факт, что, во-первых, интеграл, стоящий в левой стороне уравнения -типа обычных в теории потенциала интегралов, определяющих потенциал, создаваемый некоторым распределением зарядов, и, во-вторых, что потенциал поля внутри равномерно заряженного эллипсоида есть квадратичная функция координат.

Если по объему трехосного эллипсоида

равномерно распределен заряд (с постоянной объемной плотностью ), то потенциал поля внутри эллипсоида определяется выражением

В предельном случае сильно уплощенного (в направлении оси ) эллипсоида, что соответствует с получим отсюда

(при переходе к пределу надо, разумеется, положить равной нулю также и координату точек внутри эллипсоида). С другой стороны, потенциал может быть написан в виде интеграла

где интегрирование производится по объему эллипсоида. Переходя здесь к пределу мы должны положить под корнем производя интегрирование по в пределах между получим

где интегрирование производится по площади внутри эллипса Приравнивая оба выражения для получим следующее тождество:

Сравнивая это соотношение с уравнением (9,7), мы видим, что в их правых частях стоят квадратичные функции от и у одинакового вида, а в левых — интегралы одинакового типа.

Поэтому мы можем сразу заключить, что область соприкосновения тел (т. е. область интегрирования в интеграле в (9,7)) ограничена эллипсом вида

и что функция должна быть вида

Выбирая const так, чтобы интеграл по области соприкосновения был равен заданной полной силе F, с которой сдавливаются оба тела, получим

Эта формула определяет закон распределения давления по площади области соприкосновения. Отметим, что давление в центре области в полтора раза превышает среднее давление .

Подставив (9,10) в уравнение (9,7) и заменив получающийся в нем интеграл его выражением согласно (9,8), получим

где

Это равенство должно выполняться тождественно при всех значениях х, у (внутри эллипса (9,9)); поэтому должны быть попарно равны в отдельности коэффициенты при х и у и свободные члены в обеих сторонах. Отсюда находим следующие соотношения:

Уравнения (9,12) определяют полуоси а и b области соприкосновения по заданной силе F (А и В — известные для данных тел величины).

После этого соотношение (9,11) определит зависимость между силой F и вызываемым ею сближением тел h. Интегралы, стоящие в правых сторонах этих уравнений, эллиптические.

Таким образом, задачу о соприкосновении тел можно считать полностью решенной. Форма поверхности тел (т. е. смещения ) вне области соприкосновения определяется теми же формулами (9,5), (9,10), причем значения интегралов можно сразу определить, исходя из аналогии с потенциалом поля заряженного эллипсоида, — на этот раз вне его. Наконец, по формулам предыдущего параграфа можно было бы определить также и распределение деформации по объему тел (но, конечно, лишь на расстояниях, малых по сравнению с размерами тела).

Применим полученные формулы к соприкосновению двух шаров с радиусами R и R. Здесь

из соображений симметрии ясно, что будет и , т. е. область соприкосновения есть круг. Из (9,12) получим для радиуса а области соприкосновения значение

есть в данном случае разность между суммой и расстоянием между центрами шаров. Из (9,10) получим следующее соотношение между F и

Отметим, что h пропорционально степени F сдавливающей силы; обратно, сила F пропорциональна степени производимого ею сближения тел. Напишем еще потенциальную энергию U соприкасающихся шаров. Замечая, что должно быть получим

Наконец, укажем, что зависимость вида

имеет место не только для шаров, но и при соприкосновении других тел конечных размеров. В этом легко убедиться из соображений подобия. Если произвести замену где а — произвольная постоянная, то уравнения (9,12) останутся неизменными. В уравнении же (9,11) правая часть умножится на а, и для того чтобы оно осталось неизменным, надо заменить h на Отсюда и следует, что F должно быть пропорционально