§ 47. Звук в смектиках

В обычных жидкостях (а также в нематических жидких кристаллах) существует лишь одна ветвь слабозатухающих звуковых колебаний — продольные звуковые волны. В твердых кристаллах и аморфных твердых телах существуют три звуковые (акустические) ветви линейного закона дисперсии колебаний (§§ 22, 23). Одномерные кристаллы — смектики — и здесь занимают промежуточное положение: в них имеются две акустические ветви (P. G. de Gennes, 1969). Не интересуясь здесь коэффициентами затухания этих волн, и имея в виду лишь определение скоростей их распространения, пренебрежем в уравнениях движения всеми диссипативными членами. Полная система линеаризованных уравнений движения складывается из уравнения непрерывности

(здесь и ниже индекс у опускаем; — переменные части плотности и давления), уравнения (46,5), которое сводится к

— просачивание отсутствует, и динамического уравнения (46,13):

причем, согласно (46,2),

В выражении (46,8) для h следует опустить член содержащий производные высших порядков, — он оказался бы слишком высокого порядка по волновому вектору k, который для звуковых волн следует рассматривать как малую величину;

В реальных смектиках величины В и С обычно малы по сравнению с А. В этих условиях, которые мы и будем предполагать, природа обеих акустических ветвей в смектиках становится более наглядной.

Если пренебречь в уравнениях движения всеми членами, содержащими малые коэффициенты В и С, то они сведутся к уравнениям движения обычной жидкости с уравнением состояния т. е. с сжимаемостью (др ), Соответствующие этому случаю колебания представляют собой обычные звуковые волны — продольные волны сжатия и расширения среды. Скорость их распространения

и (в рассматриваемом приближении) не зависит от направления.

Фазовая скорость волн второй акустической ветви, как мы увидим, мала по сравнению с . Поэтому по отношению к этим колебаниям среду можно считать несжимаемой (ср. примечание на стр. 220). Уравнение непрерывности сводится при этом к условию несжимаемости в (47,5) опускаем второй член, так что уравнение (47,3) принимает вид

Продифференцировав -компоненту этого уравнения по и подставив в него , получим

где Применив же к уравнению (47,7) операцию в силу условия несжимаемости получим

Наконец, исключив из этих двух уравнений , получим одно уравнение для величины :

Зависимость смещения и от координаты означает, что меняются расстояния с между соседними слоями: а сама же величина дает относительное изменение этого расстояния. Таким образом, уравнение (47,8) описывает распространение поперечной волны, в которой испытывают Колебания расстояния между слоями при постоянной плотности. Для плоской волны, в которой из (47,8) имеем

откуда находим скорость

где — угол между к и осью . Эта скорость анизотропна, причем обращается в нуль для распространения как вдоль оси так и в плоскости При углах, близких к этим значениям, возрастает роль диссипативных эффектов. (См. задачи 2 и 3 к этому параграфу.)