Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 17. Изгиб стержнейВ изогнутом стержне в некоторых местах его происходит растяжение, а в других — сжатие. Растянуты линии на выпуклой стороне изогнутого стержня, а на вогнутой стороне происходит сжатие. Как и в случае пластинок, вдоль длины стержня внутри него существует «нейтральная» поверхность, на которой не происходит ни растяжения, ни сжатия. Она отделяет собой области сжатия от областей растяжения. Начнем с исследования деформации изгиба в небольшом участке длины стержня, в котором изгиб можно считать слабым; под слабым мы понимаем здесь изгиб, при котором мал не только тензор деформации, но и абсолютная величина смещений точек стержня. Выберем систему координат с началом в некоторой точке нейтральной поверхности внутри рассматриваемого участка стержня. Ось z направим параллельно оси стержня (недеформи-рованного); изгиб пусть происходит в плоскости Аналогично тому, что мы имели в случае изгиба пластинок и кручения стержней, и при изгибе тонких стержней внешние силы, действующие на боковую поверхность стержня, малы по сравнению с возникающими внутри стержня напряжениями, и при определении граничных условий на этой поверхности их можно считать равными нулю. Таким образом, вдоль всей боковой поверхности стержня имеем
и аналогично для Легко определить величину относительного растяжения в каждой точке стержня. Рассмотрим какой-нибудь элемент длины
Относительное удлинение равно, следовательно,
С другой стороны, относительное удлинение элемента длины
Мы можем написать теперь
До сих пор еще расположение нейтральной поверхности в изогнутом стержне оставалось неопределенным. Его можно определить из условия, что рассматриваемая нами здесь деформация должна представлять собой чистый изгиб, без какого бы то ни было общего растяжения или сжатия стержня. Для этого полная сила внутренних напряжений, действующая на поперечное сечение стержня, должна быть равной нулю, т. е. должен исчезать интеграл
взятый по этой поверхности. В связи с выражением (17,2) для
С другой стороны, можно ввести понятие о центре инерции сечения стержня, как о центре инерции однородного плоского диска соответствующей формы. Координаты этого центра:
Таким образом, условие (17,3) означает, что в системе координат с началом, лежащим на нейтральной поверхности, х - координата центра инерции сечения стержня равна нулю. Другими словами, нейтральная поверхность проходит через центры инерции поперечных сечений стержня. Помимо
Интегрирование этих соотношений приводит к следующим выражениям для компонент перемещения:
Постоянные интегрирования положены равными нулю; это значит, что мы закрепляем в пространстве положение начала координат. Из формул (17,4) видно, что точки, расположенные в поперечном сечении
Мы видим, что в рассматриваемом приближении сечения остаются при изгибе плоскими, лишь поворачиваясь на некоторый угол относительно своего первоначального положения. Форма же сечения меняется; так при изгибе стержня прямоугольного сечения (со сторонами а и b) боковые стороны контура сечения
т. е. становятся наклонными, оставаясь прямыми. Верхняя же и нижняя стороны
Рис. 14 Свободная энергия единицы объема стержня:
Интегрируя по всему поперечному сечению стержня, имеем
Это есть свободная энергия единицы длины изогнутого стержня. Радиус кривизны R определен здесь как радиус кривизны нейтральной поверхности. Но в силу тонкости стержня здесь с той же точностью R можно считать просто радиусом кривизны самого изогнутого стержня, рассматриваемого как не имеющая толщины линия (об этой линии часто говорят как об упругой линии). В выражении (17,5) удобно ввести понятие момента инерции площади поперечного сечения стержня. Именно, определим момент инерции сечения относительно проходящей через его плоскость оси у как интеграл:
т. е. аналогично обычному понятию момента инерции с той только разницей, что вместо элемента массы стоит просто элемент поверхности Тогда свободная энергия единицы длины стержня запишется в виде
Определим еще момент сил внутренних напряжений, действующих в данном сечении стержня (этот момент называют изгибающим). К элементу
Таким образом, кривизна 1/7? упругой линии пропорциональна действующему в данном сечении изгибающему моменту. Величина
где Если, например, сечение стержня является прямоугольником (со сторонами а и b), то его центр инерции находится в центре прямоугольника, а главные оси инерции параллельны его сторонам. Главные моменты инерции равны
При круговом сечении (с радиусом R) центр инерции находится в центре круга, а направление главных осей инерции произвольно. Момент инерции вокруг любой оси, проходящей в плоскости сечения через его центр, равен
|
1 |
Оглавление
|