§ 26. Ангармонические колебания

Вся изложенная теория упругих колебаний является приближенной в том же смысле, вкаком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка включительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформации, и уравнения движения — линейны.

Наиболее характерной особенностью упругих волн в этом приближении является то, что всякую волну можно представить в виде простого наложения, т. е. в виде линейной комбинации отдельных монохроматических волн. Каждая из этих монохроматических волн распространяется независимо от остальных и может существовать также и сама по себе, не сопровождаясь какими-либо посторонними движениями. Можно сказать, что различные монохроматические волны, одновременно распространяющиеся в одной и той же среде, «не взаимодействуют» друг с другом.

Все эти свойства, однако, исчезают при переходе к следующим приближениям. Эффекты следующих приближений хотя и являются малыми, но для некоторых явлений могут играть основную роль. Эти эффекты обычно называют ангармоническими в связи с тем, что соответствующие уравнения движения нелинейны и не допускают простых периодических (гармонических) решений.

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные, уравнения, решение которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих волн вида с определенными соотношениями между со и к. Переходя к следующему, второму, приближению, надо положить причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Поскольку удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора их систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида или , где - частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения.

Как известно, частный интеграл линейных уравнений такого вида представляет собой сумму членов с такими же экспоненциальными множителями, какие стоят в свободных членах (правых сторонах) уравнений, и с надлежащим образом подобранными коэффициентами. Каждый из этих членов соответствует бегущей волне с частотой и волновым вектором (частоты, равные сумме или разности частот исходных волн, называют комбинационными).

Таким образом, эффекты ангармоничности третьего порядка приводят к тому, что на совокупность основных монохроматических волн (с частотами и волновыми векторами ) налагаются некоторые «волны» слабой интенсивности с комбинационными частотами вида и волновыми векторами

Мы говорим здесь о них как о «волнах» в кавычках, имея в виду, что они представляют собой некоторый поправочный эффект и не могут существовать сами по себе (за исключением некоторых особых случаев; см. ниже). Между не удовлетворяются, вообще говоря, те соотношения, которые иеют место для частот и волновых векторов в обычных монохроматических волнах.

Ясно, однако, что возможны и такие специальные подборы значений при которых между (будем говорить для определенности о суммах, а не о разностях) будет выполняться одно из тех соотношений, которые должны иметь место для монохроматических волн в данной среде. Вводя обозначения мы можем сказать с математической точки зрения, что соответствуют в этих случаях волнам, удовлетворяющим однородным линейным уравнениям движения (без правой части) первого приближения. Если в правой стороне уравнений движения второго приближения имеются члены, пропорциональные с такими то, как известно, частный интеграл этих уравнений будет представлять собой волну этой частоты с амплитудой, неограниченно возрастающей со временем.

Таким образом, наложение двух монохроматических волн для которых суммы удовлетворяют указанному условию, приводит в результате эффекта ангармоничности к явлению резонанса — возникает новая настоящая монохроматическая волна амплитуда которой возрастает со временем и в конце концов перестает быть малой. Очевидно, что если при наложении волн возникает волна то при наложении волн тоже будет иметь место резонанс и возникает волна а при наложении волн возникает волна

В частности, в изотропном теле связано с к посредством или причем с; Легко видеть, в каких случаях возможно выполнение какого-либо из этих соотношений для каждой из трех волн: Если не совпадают по направлению, то ясно поэтому, что при таких резонанс возможен лишь в следующих двух случаях: 1) волны поперечны, а волна продольна; 2) одна из волн или продольна, другая поперечна, а волна продольна. Если же векторы имеют одинаковое направление, то резонанс возможен в случаях, когда все три волны продольны или все три поперечны.

Эффект ангармоничности с явлением резонанса возникает не только при наложении нескольких монохроматических волн, но и при наличии всего одной только волны . В этом случае в правой стороне уравнений движения имеются члены, пропорциональные

Но если для удовлетворяется обычное соотношение, то (в силу однородности первого порядка этого соотношения) оно удовлетворяется и для Таким образом, эффект ангармоничности приводит к появлению наряду 6 каждой из имеющихся монохроматических волн (ли также и волны с удвоенными частотой и волновым вектором, причем амплитуда этой волны растет со временем.

Наконец, остановимся коротко на том, каким образом могут быть составлены уравнения движения с учетом ангармонических членов. Тензор деформации должен определяться теперь полным выражением (1,3)

в котором нельзя пренебречь квадратичными по членами. Далее, общее выражение для плотности энергии для тел с данной симметрией должно быть написано как скаляр, составленный из компонент тензора и некоторых характерных для вещества тела постоянных тензоров, содержащих члены до желаемой степени по Подставляя затем выражение (26,1) для и отбрасывая члены слишком высоких порядков по получим энергию как функцию производных с желаемой степенью точности.

Для того чтобы получить уравнения движения, заметим следующее. Вариация может быть написана в виде

или, вводя обозначение

переписываем следующим образомз

Коэффициенты при — представляют собой компоненты силы, отнесенной к единице объема тела. Они имеют формально прежний вид, и потому уравнения движения могут быть написаны по-прежнему в виде

где — плотность недеформированного тела, а компоненты тензора определяются теперь, согласно (26,2), с , написанным с желаемой степенью точности. Тензор теперь не симметричен.

Подчеркнем, что не имеет теперь смысла плотности потока импульса (тензора напряжений). В обычной теории такое истолкование получалось в результате интегрирования плотности объемной силы по объему тела. При этом существенно, что при интегрировании мы не делали различия между координатами точек тела до и после деформирования, пренебрегая разницей между ними. Однако при переходе к следующим приближениям такое пренебрежение становится невозможным, и поверхность, ограничивающая область интегрирования, не совпадает с реальной поверхностью рассматриваемого участка тела после его деформирования.

В § 2 было показано, что симметричность тензора связана с сохранением момента импульса. Теперь этот результат не имеет места в связи с тем, что плотность момента импульса должна записываться не в виде — хкйи а как