Задачи

1. Определить коэффициент поглощения звука в нематической среде. Решение, Коэффициент поглощения вычисляется как отношение

(см. § 34), причем диссипативная функция дается формулой (41,5). При этом ней можно опустить член Действительно, как уже указано, молекулярное поле и потому между тем, как остальные члены в R пропор циональны более низкой степени волнового вектора — k, Простое вычисление приводит к следующему результату

где — угол между k (и тем самым v) и n. Вычисление теплопроводностной части поглощения полностью аналогично такому же вычислению для обычной жидкости — см. VI, § 79 (ср. — теплоемкости единицы массы вещества),

2. Найти закон дисперсии быстрых сдвиговых колебаний.

Решение, Для плоской волны () уравнение (42,9) принимает вид

Для несжимаемого нематика вязкий тензор напряжений дается формулой (41,7), и простое вычисление (с учетом поперечности приводит уравнение к виду 3)

где

где — угол между . Умножив уравнение (1) на к, получим формулу, опре деляющую колебания давления по колебаниям скорости:

Искомый же закон дисперсии определяется поперечными компонентами уравнения (1). Умножив это уравнение на получим закон дисперсии

отвечающий колебаниям V, перпендикулярным плоскости, проходящей через векторы кип. Закон же дисперсии для колебаний, поляризованных в указанной плоскости, получится умножением уравнения (1) на и исключением из него с помощью (2):

Оба закона находятся, конечно, в согласии с качественной оценкой (42,8).

3. Найти закон дисперсии медленных сдвиговых колебаний. Решение. Для плоской волны линеаризованное молекулярное поле

где

Уравнение же (42,12) (с из (41,7)) принимает вид

(функции ), определены в задаче 2). Умножив его на V, находим связь между колебаниями v и поляризованными перпендикулярно плоскости :

где

Далее, пишем уравнение (42,6), умноженное на v:

Исключив отсюда с помощью (2), найдем закон дисперсии колебаний, поляризованных перпендикулярно плоскости :

Для нахождения закона дисперсии колебаний, поляризованных в плоскости , проецируем уравнение (1) на направление, перпендикулярное вектору k (в плоскости ) и умножаем его на ; это дает

где

Произведя такие же операции в уравнением (42,6), получим

Исключив из обоих полученных уравнений, найдем закон дисперсии

Оба закона находятся в соответствии с качественной оценкой (42,11).

4. Найти закон дисперсии температурных колебаний в неподвижном нема тике.

Решение. Преобразование уравнения (40,8) для несжимаемого нематика производится в точности так, как это делается в случае обычной жидкости (см. VI, § 50) и приводит к уравнению

Для колебаний находим закон дисперсии