§ 5. Однородные деформации

Рассмотрим несколько простейших случаев однородных деформаций, т. е. деформаций, при которых тензор деформации постоянен вдоль всего объема тела. Однородной деформацией является, например, уже рассмотренное нами равномерное всестороннее сжатие.

Рассмотрим теперь так называемое простое растяжение (или сжатие) стержня. Пусть стержень расположен вдоль оси его концам приложены силы, растягивающие его в противоположные стороны. Эти силы действуют равномерно на всю поверхность концов стержня; сила, действующая на единицу поверхности, пусть будет .

Поскольку деформация однородна, т. е. постоянны вдоль тела, то постоянен также и тензор напряжений а поэтому его можно определить непосредственно из граничных условий (2,9). На боковой поверхности стержня внешние силы отсутствуют, откуда следует, что Поскольку единичный вектор на боковой поверхности перпендикулярен к оси , т. е. имеет только компоненты то отсюда следует, что все компоненты за исключением только равны нулю. На поверхности концов стержня имеем откуда

Из общего выражения (4,8), связывающего компоненты тензоров деформации и напряжений, мы видим, что все компоненты равны нулю. Для остальных компонент находим

Компонента определяет относительное удлинение стержня вдоль оси . Коэффициент при называют коэффициентом растяжения, а обратную величину — модулем растяжения (или модулем Юнга) Е:

где

Компоненты определяют относительное сжатие стержня в поперечном направлении. Отношение поперечного сжатия к продольному растяжению называют коэффициентом Пуассона :

где

Поскольку всегда положительны, то коэффициент Пуассона может меняться для различных веществ только в пределах от —1 (при ) до 1/2 (при ). Таким образом

(5,6)

Наконец, относительное увеличение объема стержня при его растяжении равно

Свободную энергию растянутого стержня можно написать, воспользовавшись непосредственно формулой (4,10). Поскольку от нуля отлична только компонента то

В дальнейшем мы будем пользоваться, как это обычно принято, величинами Е и а вместо модулей Эти последние, а также второй коэффициент Ламэ выражаются через формулами

Выпишем здесь общие формулы предыдущего параграфа с коэффициентами, выраженными через . Для свободной энергии имеем

Тензор напряжений выражается через тензор деформации согласно

Обратно;

Поскольку формулами (5,11) и (5,12) приходится постоянно пользоваться, выпишем их здесь для удобства в расписанном по компонентам виде:

и обратные формулы:

Рассмотрим теперь сжатие стержня, боковые стороны которого закреплены так, что его поперечные размеры не могут меняться. Внешние силы, производящие сжатие стержня, приложены к его основаниям и действуют вдоль его длины, которую мы опять выберем, в качестве оси . Такую деформацию называют односторонним сжатием. Поскольку стержень деформируется только вдоль оси , то из всех компонент от нуля отлична только . Из (5,13) имеем теперь

Обозначая опять сжимающую силу посредством ( отрицательно при сжатии), имеем

Коэффициент при называется коэффициентам одностороннего сжатия. Для напряжений, возникающих в поперечном направлении, имеем

Наконец, для свободной энергии стержня имеем