§ 21. Устойчивость упругих систем

Поведение стержня, подверженного воздействию продольных сжимающих сил, представляет простейший пример важного явления упругой неустойчивости, впервые обнаруженного Л. Эйлером.

При отсутствии поперечных изгибающих внешних сил уравнения равновесия сжатого стержня (20,14) имеют очевидной решение соответствующее стержню, остающемуся при воздействии продольной силы Т прямолинейным. Это решение, однако, соответствует устойчивому равновесию стержня лишь до тех пор, пока сжимающая сила остается меньше некоторого критического значения При прямолинейная форма стержня устойчива по отношению к произвольному малому возмущению.

Другими словами, если под влиянием какого-либо малого воздействия стержень подвергается слабому изгибу, то по прекращении этого воздействия стержень будет стремиться вернуться в исходное состояние.

Напротив, при прямолинейная форма отвечает неустойчивому равновесию. Достаточно уже бесконечно малого воздействия (изгиба) для того, чтобы равновесие нарушилось, в результате чего произойдет сильный изгиб стержня. Ясно, что в этих условиях сжатый стержень вообще не сможет реально существовать в неизогнутом виде.

Поведение стержня после потери им устойчивости должно описываться уравнениями сильного изгиба. Однако самое значение критической нагрузки может быть получено с помощью уравнений слабого изгиба. При прямолинейная форма стержня соответствует некоторому безразличному равновесию. Это, значит, что наряду с решением должны существовать еще и состояния слабого изгиба, которые тоже являются равновесными. Поэтому критическое значение можно определить как то значение при котором у уравнений

появляется отличное от нуля решение. Само же это решение определяет характер деформации, которой подвергнется стержень непосредственно после потери им устойчивости.

В задачах этого параграфа приведен ряд типичных случаев потери устойчивости различными упругими системами.