Задачи

1. Вывести уравнения равновесия для сферической оболочки (радиуса R), деформируемой симметрично относительно оси, проходящей через ее центр.

Решение. В качестве двухмерных координат на поверхности оболочки пользуемся углами сферической системы координат с началом в центре сферы и полярной осью по оси симметрии деформированной оболочки.

Пусть — отнесенная к единице поверхности оболочки радиальная внешняя сила. Эта сила должна компенсироваться радиальной равнодействующей сил внутренних напряжений, действующих на элемент оболочки в тангенциальных к нему направлениях. Соответствующее условие гласит:

Это уравнение в точности аналогично известному уравнению Лапласа, определяющему разность давлений двух сред, связанную с действующим в поверхности их раздела поверхностным напряжением.

Пусть, далее, есть направленная вдоль полярной оси (оси ) равнодействующая всех внешних сил, действующих на часть оболочки, расположенную над параллельным кругом . Эта сила должна компенсироваться проекцией на ось напряжений действующих на сечение оболочки по указанной окружности. Отсюда

Уравнениями (1) и (2) определяется распределение напряжений, после чего тензор деформации находится по формулам

а затем вектор смещения с помощью уравнений

2. Определить деформацию под влиянием собственного веса полусферической оболочки, расположенной куполом вверх; края купола свободно перемещаются по горизонтальной опоре (рис. 10).

Решение. Имеем

( есть полный вес оболочки над окружностью ). Из (1) и (2) находим

По формулам (3) вычисляем после чего из уравнений (4) вычисляем (постоянная, возникающая при интегрировании первого из этих уравнений, определяется так, чтобы при было . В результате получим

Значение при дает горизонтальное смещение опоры.

3. Определить деформацию полусферической оболочки с закрепленными краями, расположенной куполом вниз и наполненной жидкостью (рис. 11); весом самой оболочки можно пренебречь по сравнению с весом жидкости.

Рис. 10

Рис. 11

Решение. Имеем

— плотность жидкости). Далее, по формулам (1) и (2) находим

Для смещений получается

При остается конечным, а не обращается в нуль, как должно было быть. Это значит, что в действительности вблизи линии закрепления оболочки происходит настолько сильный ее изгиб, что полученное решение становится неприменимым.

4. Оболочка в виде шарового сегмента опирается своими свободными краями на неподвижную опору (рис. 12). Определить величину ее прогиба под действием собственного веса

Решение. Основная деформация происходит вблизи краев, отгибающихся в сторону (штриховая линия на рис. 12). При этом смещение мало по сравнению с радиальным смещением Поскольку быстро убывает по мере удаления от линии опоры, то возникающую деформацию можно рассматривать как деформацию плоской длинной (длины пластинки. Эта деформация складывается из изгиба и растяжения пластинки. Относительное удлинение пластинки в каждой ее точке равно 1,1 R (R — радиус оболочки), и потому энергия растяжения (на единицу объема) есть

Вводя в качестве независимой переменной расстояние от линии опоры, имеем для полной энергии растяжения

Энергия же изгиба есть

Варьируя сумму по , получим уравнение

Рис. 12

При должно стремиться к нулю, а при должны выполняться граничные условия равенства нулю момента сил: и условие равенства развивающейся при изгиэ силы нормальной к поверхности оболочки компоненте силы тяжести:

Удовлетворяющее этим условиям решение есть

где

Величина прогиба оболочки есть