§ 8. Равновесие упругой среды, ограниченной плоскостью

Рассмотрим упругую среду, заполняющую бесконечное полупространство, т. е. ограниченную с одной стороны бесконечной плоскостью. Определим деформацию среды под влиянием сил, приложенных к ее свободной поверхности Распределение этих сил должно удовлетворять только одному условию: они должны исчезать на бесконечности так, чтобы на бесконечности деформация отсутствовала. Для такого случая уравнения равновесия могут быть проинтегрированы в общем виде (J. Boussinesq, 1885).

Во всем объеме, занимаемом средой, имеет место уравнение равновесия (7,4)

Будем искать решение этого уравнения в виде

где — некоторый скаляр, а вектор f удовлетворяет уравнению Лапласа

Подстановка (8,2) в (8,1) приводит тогда к следующему уравнению для

Выберем свободную поверхность упругой среды в качестве плоскости , области среды соответствуют положительные .

Напишем функции в виде производных по от некоторых функций

Поскольку — гармонические функции, то можно всегда выбрать функции так, чтобы и они удовлетворяли уравнению Лапласа:

Уравнение (8,4) принимает теперь вид

Имея в виду, что — гармонические функции, легко убедиться в том, что удовлетворяющая этому уравнению функция может быть написана как

где — опять гармоническая функция:

Таким образом, задача об определении деформации и сведена к нахождению функций которые все удовлетворяют уравнению Лапласа.

Выпишем теперь граничные условия, которые должны выполняться на свободной поверхности среды (на плоскости ).

Поскольку единичный вектор внешней нормали направлен в отрицательном направлении оси , то, согласно общей формуле (2,9), должно быть Воспользовавшись для общим выражением (5,11) и выражая компоненты вектора и через вспомогательные величины получим после простого вычисления граничные условия в следующем виде:

Компоненты внешних сил, приложенных к поверхности, являются заданными функциями координат х, у, обращающимися в нуль на бесконечности.

Формулы, с помощью Которых введены вспомогательные величины не определяют их вполне однозначным образом; в их выборе остается еще некоторый произвол. Поэтому можно наложить на эти величины еще какое-либо произвольное дополнительное условие. В качестве такового удобно потребовать обращения в нуль величины, стоящей в фигурных скобках в уравнениях (8,9) :

Тогда условия (8,9) упрощаются и дают

Уравнения (8,10-12) достаточны для полного вычисления гармонических функций

Для упрощения записи дальнейших формул мы рассмотрим случай, когда на свободную поверхность упругого полупространства действует сосредоточенная сила F, т. е. сила, приложенная к весьма малому участку поверхности, который можно считать точечным. Действие этой силы может быть описано как действие поверхностных сил, распределенных по закону

где обозначает -функцию, а начало координат выбрано в точке приложения силы. Зная решение задачи для сосредоточенной силы, можно непосредственно построить решение для произвольного распределения сил P(х, у). Именно, если

есть деформация под действием сосредоточенной силы F, приложенной в начале координат, то деформация под действием сил дается интегралом

Из теории потенциала известно, что гармоническая функция обращающаяся на бесконечности в нуль и обладающая заданной нормальной производной на плоскости определяется формулой

Поскольку величины и величина, стоящая в фигурных скобках в уравнении (8,10), удовлетворяют уравнению Лапласа, а равенства (8,10) и (8,12) как раз определяют значения их нормальных производных на плоскости имеем

где теперь

В выражения для компонент искомого вектора и входят не самые величины а только их производные по х, у, z. Для вычисления дифференцируем равенства (8,16) соответственно по и по

Интегрнруя теперь по в пределах от до , получим

Мы не станем производить здесь дальнейших простых, но довольно громоздких вычислений. Из уравнений (8,11), (8,15) и (8,17) определяем . Зная легко вычислить интегрируя сначала по , а затем дифференцируя по х и по у. Так мы получим все величины, нужные для вычисления вектора деформации согласно (8,2), (8,5), (8,7). В результате получлм следующие окончательные формулы;

В частности, смещение точек самой свободной поверхности среды дается формулами, получающимися отсюда при

Задача

Определить деформацию неограниченной упругой среды, к малому участку которой приложена сила F (W. Thomson, 1848).

Решение. Рассматривая деформацию на расстояниях , больших по сравнению с размерами участка приложения силы, мы можем считать, что сила приложена в точке. Уравнение. равновесия гласит (ср. (7,2)):

(где , а начало координат выбрано в точке приложения силы). Ищем решение в виде где удовлетворяет уравнению типа Пуассона:

Соответственно для их получим уравнение

Обращающееся на бесконечности в нуль решение уравнения (2) есть

Применив к уравнению (3) операцию получим На бесконечности должно быть Но функция, гармоническая во всем пространстве и обращающаяся в нуль на бесконечности, равна нулю тождественно. Таким образом, и соответственно этому можно писать их в виде Из (3) получаем

Отсюда следует, что стоящая в скобках величина есть постоянная, и поскольку она должна исчезать на бесконечности, то во всем пространстве

Если — решение уравнения , то

Выбрав не имеющее особенностей решение получим

где — единичный вектор в направлении радиус-вектора . Окончательно имеем

Представив эту формулу в виде (8,13), получим тензор Грина уравнений равновесия неограниченной изотропной среды: