Задачи

1. Определить коэффициент отражения продольной монохроматической волны, падающей под произвольным углом на границу тела с вакуумом.

Рис. 20

Решение. При отражении под произвольным углом возникают как продольная, так и поперечная отраженные волны. Из соображений симметрии заранее ясно, что вектор смещения в поперечной отраженной волне будет лежать целиком в плоскости падения (рис. — единичные векторы вдоль направлений падающей, продольной и поперечной отраженных волн, — соответствующие векторы смещений). Полное смещение в теле равно сумме (общий множитель для краткости опускаем)

(а — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости падения). Абсолютные величины волновых векторов равны: а углы падения и отражения связаны посредством . Для компонент тензора деформации на границе тела получаем

(общие экспоненциальные множители опускаем). Компоненты тензора напряжений вычисляем по общей формуле (5,11), которую удобно писать здесь в виде

Граничные условия на свободной поверхности среды гласят откуда и дают два уравнения, из которых можно выразить через . В результате вычисления получается

При имеем т. e. волна отражается целиком как продольная. Отношение перпендикулярной к поверхности среды компоненты плотности потока энергии в отраженной продольной волне к такому же потоку в падающей волне есть

Аналогичное отношение для отраженной поперечной волны есть

Разумеется, же, если падающая волна поперечная (и направление колебаний в ней лежит в плоскости падения)

Решение. Волна отражается в виде поперечной же и продольной волн, причем Полный вектор смещения:

Для амплитуд отраженных волн получаются выражения

3. Определить частоты радиальных собственных колебаний упругого шара радиуса

Решение. Выбираем сферические координаты с началом в центре шара» При радиальных колебаниях и направлено по радиусу и зависит только от (и от ). Поэтому Введем «потенциал» смещения согласно Выраженное через уравнение движения сводится к волновому уравнению или для периодических по времени колебаний;

Решение, конечное во всем объеме шара, включая его центр, есть

(временной множитель не пишем).

Радиальные напряжения:

или, использовав уравнение (1):

Граничное условие приводит к уравнению

Его корни определяют частоты собственных колебаний

4. Определить частоту радиальных колебаний сферической полости в неограниченной упругой среде, для которой с;

Решение. В неограниченной среде радиальные колебания полости сопровождаются излучением продольных звуковых волн, что приводит к потере анергии и тем самым к затуханию колебаний. При (т. е. ) это излучение будет слабым и можно говорить о собственных частотах колебаний с малым коэффициентом затухания.

Ищем решение уравнения (I) в виде расходящейся сферической волны

и с помощью (2) получаем из граничного условия

Отсюда (при )

Вещественная часть о дает собственную частоту колебаний, а мнимая — коэффициент затухания; в несжимаемой среде затухание, естественно, отсутствовало бы. Эти колебания — специфический результат сопротивляемости среды по отношению к сдвигу ). Обратим внимание на то, что для них , т. е. соответствующая этим колебаниям длина волны велика сравнению с R (интересно сравнить это с колебаниями упругой сферы, для которых при первая собственная частота определяется согласно (3) из