§ 12. Уравнение равновесия пластинки

Уравнение равновесия пластинки мы выведем из условия минимума ее свободной энергии. Для этого надо вычислить вариацию выражения (11,6).

Разобьем стоящий в (11,6) интеграл на сумму двух интегралов и будем варьировать каждый из них в отдельности. Первый интеграл можно написать в виде

где — элемент поверхности, а обозначает здесь (и везде в §§ 12—14) двухмерный оператор Лапласа. Варьируя этот интеграл, имеем

Все векторные операции производятся здесь, конечно, в двухмерной системе координат х, у. Первый интеграл справа преобразуем в интеграл по замкнутому контуру, охватывающему пластинку

где означает дифференцирование по направлению внешней нормали к контуру.

Во втором интеграле применяем такое же преобразование и получаем

Подставляя полученные результаты, получаем

(12,1)

Преобразование вариации второго интеграла в (11,6) несколько более длинно. Это преобразование удобнее производить не в векторном виде, а в компонентах. Имеем:

Подынтегральное выражение здесь можно написать в виде

т. е. как двухмерную дивергенцию некоторого вектора. Поэтому можно переписать вариацию в виде интеграла по контуру:

где — угол между осью и нормалью к контуру (рис. 3).

Производные от по х и у выразим через производные по направлению нормали к контуру и по направлению касательной I к нему согласно формулам

Тогда интегралы в формуле (12,2) приобретают следующий вид:

Второй интеграл можно вычислить, взяв его по частям. Поскольку он берется по замкнутому контуру, то пределы интегрирования сливаются в одну точку, и потому мы получаем просто

Рис. 3

Сводя все полученные выражения вместе и написав перед ними коэффициенты согласно формуле (11,6), получаем окончательно следующее выражение для вариации свободной энергии:

где

Для того чтобы получить отсюда уравнение равновесия пластинки, надо приравнять нулю сумму вариации и вариации потенциальной энергии пластинки, связанной с наличием действующих на нее внешних сил.

Эта последняя вариация равна взятой с обратным знаком работе внешних сил при смещении пластинки. Пусть Р есть действующая на пластинку внешняя сила, отнесенная к единице площади ее поверхности и направленная по нормали к ней. Тогда работа, произведенная силами при смещении точек пластинки на равна

Таким образом, имеем в качестве условия минимальности полной свободной энергии пластинки уравнение

В левой части этого равенства стоят как интегралы по поверхности, так и интегралы по контуру. Поверхностный интеграл есть

Вариация в нем произвольна. Поэтому интеграл равен нулю, если

Это — уравнение равновесия пластинки, изгибаемой действующими на нее внешними силами. Коэффициент в этом уравнении называют жесткостью пластинки при изгибе или цилиндрической жесткостью.

Граничные условия для этого уравнёния получаются из равенства нулю контурных интегралов в (12,3). При этом следует рассмотреть несколько различных частных случаев.

Предположим, что часть края пластинки свободна, т. е. на нее не действуют никакие внешние силы. Тогда вариации и на ней произвольны и должны быть равными нулю коэффициенты при этих вариациях в интегралах по контуру. Это приводит к уравнениям

Они должны выполняться на всей свободной границе пластинки.

Краевые условия (12,6-7) весьма сложны. Значительно более просты случаи, когда края пластинки заделаны или оперты.

Если края пластинки заделаны (рис. 4, а), то они не могут испытывать никакого вертикального смещения и, сверх того, не может измениться также и направление этих краев. Угол, на который поворачивается данный участок края пластинки относительно своего первоначального Таким образом, на заделанных краях пластинки вариации и равны нулю, так что контурные интегралы в (12,3) исчезают тождественно. Граничные условия имеют в этом случае простой вид:

Первое выражает собой тот факт, что края пластинки вообще не испытывают вертикального смещения при деформации, а второе — что направление края остается горизонтальным.

Рис. 4

Легко определить силы реакции, действующие на пластинку со стороны опоры в точках закрепления. Эти силы равны и противоположны силам, действующим на опору со стороны пластинки. Как известно из механики, сила, действующая в некотором направлении; равна производной от энергии по координатам, взятой по этому направлению. В частности, сила, с которой пластинка действует на опору, определяется производной от энергии по смещению края пластинки, взятой с обратным знаком, а обратная сила реакции — той же производной с положительным знаком. Но эта производная есть не что иное, как коэффициент при во втором интеграле в (12,3). Таким образом, сила реакции, отнесенная к единице длины контура, равна выражению, стоящему в левой части уравнения (12,6) (конечно, не равному теперь нулю), умноженному на D. Аналогично, момент сил реакции определяется выражением, стоящим в левой части уравнения (12,7), умноженным на тот же коэффициент D. Это следует из известного из механики обстоятельства, что момент силы равен производной от энергии по углу поворота тела. Угол же поворота края пластинки равен производной так что соответствующий момент определяется коэффициентом при в третьем интеграле в (12,3). При этом оба эти выражения (для силы и момента) ввиду условий (12,8) сильно упрощаются. Именно, поскольку равны нулю вдоль всего контура края пластинки, то обращаются тождественно в нуль также и их производные всех порядков по направлению касательной 1.

Учитывая это обстоятельство и переходя в (12,6) и (12,7) от производных по к производным в направлениях , получим следующие простые выражения для силы F и момента М реакции опоры:

(12,10)

Другой важный случай — опертая пластинка (рис. 4, б), у которой края только опираются на неподвижную опору, но не закреплены в ней. В таком случае на контуре пластинки (т. е. на линии, по которой пластинка опирается на опору) вертикальное смещение по-прежнему отсутствует, но направление отнюдь не остается неизменным. Соответственно этому в (12,3) в интеграле по контуру

но

Поэтому из двух условий (12,6), (12,7) остается только второе. Выражение же, стоящее в левой части (12,6), определяет, как и в предыдущем случае, силу реакции, действующую в точках опоры пластинки (момент же этих сил равен теперь в равновесии нулю). Граничное условие (12,7) упрощается, если перейти к производным по направлениям , причем учесть, что в силу равенства на всем контуре обращаются в нуль также и производные . В результате получим граничные условия в виде