Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 12. Уравнение равновесия пластинкиУравнение равновесия пластинки мы выведем из условия минимума ее свободной энергии. Для этого надо вычислить вариацию выражения (11,6). Разобьем стоящий в (11,6) интеграл на сумму двух интегралов и будем варьировать каждый из них в отдельности. Первый интеграл можно написать в виде
где
Все векторные операции производятся здесь, конечно, в двухмерной системе координат х, у. Первый интеграл справа преобразуем в интеграл по замкнутому контуру, охватывающему пластинку
где Во втором интеграле применяем такое же преобразование и получаем
Подставляя полученные результаты, получаем
Преобразование вариации второго интеграла в (11,6) несколько более длинно. Это преобразование удобнее производить не в векторном виде, а в компонентах. Имеем:
Подынтегральное выражение здесь можно написать в виде
т. е. как двухмерную дивергенцию некоторого вектора. Поэтому можно переписать вариацию в виде интеграла по контуру:
где Производные от
Тогда интегралы в формуле (12,2) приобретают следующий вид:
Второй интеграл можно вычислить, взяв его по частям. Поскольку он берется по замкнутому контуру, то пределы интегрирования сливаются в одну точку, и потому мы получаем просто
Рис. 3 Сводя все полученные выражения вместе и написав перед ними коэффициенты согласно формуле (11,6), получаем окончательно следующее выражение для вариации свободной энергии:
где
Для того чтобы получить отсюда уравнение равновесия пластинки, надо приравнять нулю сумму вариации Эта последняя вариация равна взятой с обратным знаком работе внешних сил при смещении пластинки. Пусть Р есть действующая на пластинку внешняя сила, отнесенная к единице площади ее поверхности и направленная по нормали к ней. Тогда работа, произведенная силами при смещении точек пластинки на
Таким образом, имеем в качестве условия минимальности полной свободной энергии пластинки уравнение
В левой части этого равенства стоят как интегралы по поверхности, так и интегралы по контуру. Поверхностный интеграл есть
Вариация в нем произвольна. Поэтому интеграл равен нулю, если
Это — уравнение равновесия пластинки, изгибаемой действующими на нее внешними силами. Коэффициент в этом уравнении называют жесткостью пластинки при изгибе или цилиндрической жесткостью. Граничные условия для этого уравнёния получаются из равенства нулю контурных интегралов в (12,3). При этом следует рассмотреть несколько различных частных случаев. Предположим, что часть края пластинки свободна, т. е. на нее не действуют никакие внешние силы. Тогда вариации и
Они должны выполняться на всей свободной границе пластинки. Краевые условия (12,6-7) весьма сложны. Значительно более просты случаи, когда края пластинки заделаны или оперты. Если края пластинки заделаны (рис. 4, а), то они не могут испытывать никакого вертикального смещения и, сверх того, не может измениться также и направление этих краев. Угол, на который поворачивается данный участок края пластинки относительно своего первоначального Таким образом, на заделанных краях пластинки вариации и
Первое выражает собой тот факт, что края пластинки вообще не испытывают вертикального смещения при деформации, а второе — что направление края остается горизонтальным.
Рис. 4 Легко определить силы реакции, действующие на пластинку со стороны опоры в точках закрепления. Эти силы равны и противоположны силам, действующим на опору со стороны пластинки. Как известно из механики, сила, действующая в некотором направлении; равна производной от энергии по координатам, взятой по этому направлению. В частности, сила, с которой пластинка действует на опору, определяется производной от энергии по смещению Учитывая это обстоятельство и переходя в (12,6) и (12,7) от производных по
Другой важный случай — опертая пластинка (рис. 4, б), у которой края только опираются на неподвижную опору, но не закреплены в ней. В таком случае на контуре пластинки (т. е. на линии, по которой пластинка опирается на опору) вертикальное смещение по-прежнему отсутствует, но направление отнюдь не остается неизменным. Соответственно этому в (12,3) в интеграле по контуру
но
Поэтому из двух условий (12,6), (12,7) остается только второе. Выражение же, стоящее в левой части (12,6), определяет, как и в предыдущем случае, силу реакции, действующую в точках опоры пластинки (момент же этих сил равен теперь в равновесии нулю). Граничное условие (12,7) упрощается, если перейти к производным по направлениям
|
1 |
Оглавление
|