Задачи

1. Определить деформацию круглой пластинки (радиуса R) с заделанными краями, расположенной горизонтально в поле тяжести.

Решение. Выбираем полярные координаты с началом в центре пластинки. Сила, действующая на единицу площади поверхности пластинки, равна . Уравнение (12,5) приобретает вид

(положительные соответствуют смещению по направлению действия силы тяжести). Поскольку есть функция только от , то для в полярных координатах надо писать Общий интеграл этого уравнения есть

В данном случае надо положить так как обращается при в бесконечность, а также так как этот член приводит к особой точке при (это соответствовало бы силе, приложенной к центру пластинки, — см. задачу 3).

Постоянные а и b определяются из граничных условий при . В результате находим

2. То же для пластинки с опертыми краями.

Решение. Граничные условия (12,11) в случае круглой пластинки приобретают вид

Решение аналогично решению задачи 1 и приводит к результату

3. Определить деформацию круглой пластинки с заделанными краями, к центру которой приложена сила

Решение. Везде, кроме начала координат, имеет место уравнение

Интегрируя, находим

(член с опять опускаем). Полная сила, действующая на пластинку, равна силе приложенной к ее центру; поэтому интеграл от по поверхности пластинки должен быть равен

Отсюда получается Постоянные а и b определяются из граничных условий, и в результате находим

4. То же для пластинки с опертыми краями.

Решение

.

5. Определить деформацию круглой пластинки, подвешенной в своем центре и находящейся в поле тяжести.

Решение. Уравнение для и его общее решение — такие же, как в задаче 1. Поскольку в центре смещение то Постоянные а, b определяются из граничных условий (12,6) и (12,7), имеющих при круговой симметрии вид

В результате находим

6. От тела отрывается тонкий слой (толщиной h) приложенными к нему внешними силами, действующими против сил поверхностного натяжения на поверхности отрыва. При заданных внешних силах устанавливается равновесие с определенными величиной поверхности отрыва и формой отрываемой пластинки (рис. 5). Вывести формулу, связывающую величину поверхностного натяжения с формой отрываемой пластинки.

Рис. 5

Решение. Отрываемый слой рассматриваем как пластинку, один из краев которой (линия отрыва) заделан. Изгибающий момент, действующий у этого края, определяется формулой работа, производимая этим моментом при удлинении области отрыва на равна

(работа же изгибающей силы F является малой величиной второго порядка). Условие равновесия состоит в равенстве этой работы изменению энергии системы. Последнее складывается из двух частей: изменения поверхностной энергии и изменения упругой энергии отрываемой пластинки за счет удлинения ее изогнутой части. Первая равна где а — коэффициент поверхностного натяжения, а множитель 2 учитывает возникновение при отрыве двух свободных поверхностей. Вторая же часть равна

(энергия (11,6), приходящаяся на длину пластинки), т. е. составляет половину работы (1). Таким образом, получим