§ 20. Слабый изгиб стержней

Уравнения равновесия значительно упрощаются в практически важном случае слабого изгиба стержней. Изгиб является слабым, если направление касательной t к стержню медленно меняется вдоль его длины, т. е. производная мала.

Другими словами, радиус кривизны изогнутого стержня в каждой точке должен быть велик по сравнению с длиной стержня. Практически это условие сводатся к требованию малости поперечного прогиба, стержня по сравнению с: его длиной. Подчеркнем, что при этом отнюдь не требуется малости прогиба по сравнению с толщиной стержня, как это должно было быть в приближенной теории слабого изгиба пластинок, развитой в §§ 11—12. Продифференцируем (19,3) по длине:

Второй член содержит малую величину вследствие чего им обычно (за исключением некоторых особых случаев, о которых речь идет ниже) можно пренебречь. Подставляя первом члене , получаем, уравнение равновесия в виде

Напишем это уравнение в компонентах, для чего подставим в него, согласно (18,6) и (18,9),

(знак 1 означает везде дифференцирование по z). Единичный вектор t можно считать направленным оси . Тогда мы получим

Эти уравнения определяют зависимость прогибов X и Y от , т. е. форму слабо изогнутого стержня.

Силу F внутренних напряжений, действующую на поперечное сечение стержня, также можно выразить через производные от X и V. Подставляя (20,3) в (19,3), получаем

Мы видим, что вторые производные определяют момент сил внутренних напряжений, а третьи производные определяют сами эти силы. Силу (20,5), называют перерезывающей силой. Если изгиб производится сосредоточенными силами, то перерезывающая сила постоянна вдоль каждого из отрезков стержня между точками приложения сил, а в каждой из этих точек испытывает скачок, равный приложенной внешней силе.

Величины называют жесткостью стержня на изгиб соответственно в главных плоскостях

Если приложенные к стержню внешние силы действуют в одной плоскости, то и изгиб стержня произойдет в одной плоскости. Эти две плоскости, однако, в общем случае совпадают друг с другом; легко найти угол между ними. Если а — угол между плоскостью действия сил и первой главной плоскостью изгиба (плоскостью х, z), то уравнения равновесия принимают вид

Оба уравнения отличаются только коэффициентом при Поэтому X и Y пропорциональны друг другу, причем

Угол между плоскостью изгиба и плоскостью определяется равенством

Для стержня кругового сечения и , т. е. изгиб происходит в плоскости действия сил. То же самое имеет место и для стержня произвольного сечения при , т. е. когда силы направлены в главной плоскости. Для абсолютной величины прогиба

имеет место уравнение

Перерезывающая сила F лежит в той же плоскости, что и К, и равна

Величина играет роль эффективного значения момента инерции сечения стержня.

Напишем в явном виде граничные условия для уравнений равновесия слабо изогнутого стержня. Если конец стержня заделан, то на нем должно быть и, сверх того, не может измениться его направление, т. е. должно быть Таким образом, на заделанном конце стержня должны выполняться условия

Сила же и момент сил реакции в точках опоры определяются по известному решению формулами (20,3) и (20,5).

При достаточно слабом изгибе стержня закрепление его конца в шарнире и опирание его в точке эквивалентны в отношении граничных условий. Дело в том, что во втором случае продольное смещение стержня в точке опоры является при слабом изгибе величиной второго порядка малости по сравнению с поперечным прогибом и потому должно считаться равным нулю. Граничные условия исчезновения поперечного смещения и момента сил дают в этих случаях

(20,10)

Направление же конца стержня и сила реакции в точке опоры определяются в результате решения уравнений.

Наконец, на свободном конце должны отсутствовать сила F и момент сил М. Согласно (20,3) и (20,5) это приводит к условиям

(20,11)

(если к свободному концу приложена сосредоточенная сила, то F должно быть равно этой силе, а не нулю).

Нетрудно обобщить уравнения (20,4) на случай стержней переменного сечения. У таких стержней моменты инерции и 1% являются функциями z. Формулы (20,3), определяющие моменты сил в каждом данном сечении стержня, по-прежнему остаются справедливыми. Подстановка их в (20,2) приводит теперь к уравнениям

(20,12)

в которых нельзя вынести из-под знака производной. Для перерезывающей силы имеем

Вернемся снова к уравнениям (20,1). Произведенное нами пренебрежение вторым членом в правой стороне равенства может оказаться в некоторых случаях незаконным даже при слабом изгибе. Это — те случаи, в которых вдоль длины стержня действует большая сила внутренних напряжений, т. е. очень велико. Наличие такой силы вызывается обычно сильным натяжением стержня приложенными к его концам внешними растягивающими силами. Обозначим действующее вдоль стержня постоянное натяжение посредством Если стержень подвергается сильному сжатию, а не растяжению, то сила Т отрицательна. Раскрывая векторное произведение мы должны теперь сохранить члены, содержащие Т, членами же с можно по-прежнему пренебречь. Подставляя для компонент вектора соответственно получим уравнения равновесия в виде

(20,14)

К выражениям (20,5) для перерезывающей силы надо прибавить теперь члены, равные проекциям действующей вдоль вектора t силы Т на оси :

(20,15)

Эти формулы могут быть, конечно, получены и непосредственно из (19,3).

Большая сила Т может в некоторых случаях появиться и в результате самого изгиба, даже если нет никаких специально приложенных растягивающих сил. Рассмотрим стержень, оба конца которого заделаны или закреплены на шарнирах в неподвижных опорах, так что не могут испытывать продольного смещения. Тогда прогиб стержня неизбежно сопровождается его удлинением, что и приводит к появлению в нем силы Т. Легко оценить величину прогиба, при котором эта сила делается существенной. Длина изогнутого стержня равна интегралу

взятому по прямой, соединяющей точки опоры. При слабом изгибе можно разложить корень в ряд, и мы получаем для удлинения выражение

Возникающая при простом растяжении сила натяжения равна относительному удлинению, умноженному на модуль Юнга и на площадь S сечения стержня. Таким образом, сила Т равна

(20,16)

Если есть порядок величины поперечного прогиба, то производные X и Y — порядка так что весь интеграл, стоящий в (20,16), — порядка величины Порядок величины первых и вторых членов в (20,14) — соответственно Момент инерции имеет порядок величины где h — толщина стержня. Подставляя это, легко получаем, что первые и вторые члены в (20,14) сравниваются по порядку величины при

Таким образом, при изгибе стержней, йонцы которых закреплены, можно пользоваться уравнениями равновесия в виде (20,4), только если прогиб мал по сравнению с толщиной стержня. Если же не мало по сравнению с h (но, конечно, по-прежнему ), то надо пользоваться уравнениями (20,14). При этом сила Т в этих уравнениях заранее неизвестна. При их решении надо сначала рассматривать Т как заданный параметр, а затем по полученному решению определить Т согласно формуле (20,16), чем и определится связь Т с приложенными к стержню изгибающими силами.

Обратным предельным случаем является тот, когда сопротивление стержня на изгиб мало по сравнению с его сопротивлением на растяжение, так что в уравнениях (20,14) можно пренебречь первыми членами по сравнению со вторыми. Физически такой случай может быть осуществлен либо очень сильным растяжением Т, либо при достаточно малом что может быть связано с мглой толщиной к (о сильно натянутых стержнях говорят как о струнах). Уравнения равновесия гласят в этих случаях:

(20,17)

Концы струны надо представлять себе закрепленными в том смысле, что их координаты заданы, т. е.

(20,18)

Направление же концов не может быть задано произвольным образом, а определяется решением уравнений.

В заключение покажем, каким образом уравнения равновесия слабо изогнутого стержня можно получить, исходя из вариационного принципа, используя выражение (18,10) для упругой энергии:

В равновесии должна быть минимальна сумма этой энергии и потенциальной энергии, связанной с действующими на стержень внешними силами К, т. е. должно быть

(второй член представляет собой работу внешних сил при бесконечно малом смещении линии етержня). При варьировании FCT производим дважды интегрирование по частям:

и аналогичным образом для интеграла от Собирая различные члеяы, получим

Из первого, интегрального, члена следуют ввиду произвольности вариаций и уравнения равновесия (20,4). Остальные же, проинтегрированные, члены дают граничные условия к этим уравнениям; так, на свободном конце вариации произвольны и соответственно получаются условия (20,11). В то же время коэффициенты при в этих членах дают выражения (20,5) для компонент перерезнвающей силы, а коэффициенты при — выражения (20,3) для компонент изгибающего момента.

Наконец, уравнения равновесия (20,14) при наличии растягивающей силы Т можно получить тем же способом, прибавив к варьируемой энергии величину

представляющую собой работу силы Т на пути — удлинении стержня.