§ 24. Поверхностные волны

Особым видом упругих воля являются волны, распространяющиеся вблизи поверхности среды и не проникающие в глубь нее — волны Рэлея (Rayleigh, 1885).

Напишем уравнения движения в виде (22,11-12)

(где — какая-либо из компонент векторов а с — соответствующая ей скорость или ), и будем искать решения, отвечающие поверхностным волнам. Поверхность упругой среды будем предполагать плоской, и выберем ее в качестве плоскости , области среды пусть соответствуют z < 0.

Рассмотрим «плоскую» монохроматическую поверхностную волну, распространяющуюся вдоль оси функция в ней имеет вид

где функция удовлетворяет уравнению введено обозначена

Если — то — периодическая функция, т. е. мы получили бы обычную плоскую волну, не исчезающую во всем объеме среды. Поэтому надо считать, что — вещественное число. Уравнение имеет решения вида из них надо выбрать то, которое затухает при

Таким образом, мы приходим к следующему решению уравнений движения:

(24,3)

Оно соответствует волне, быстро (экспоненциально) затухающей внутрь тела, т. е. распространяющейся только вблизи его поверхности. Величина к определяет скорость этого затухания.

Истинный вектор деформации и в волне является суммой векторов компоненты каждого из которых удовлетворяют уравнению (24,1) со скоростью для для . В случае объемных волн в неограниченной среде эти две части представляют собой две независимо распространяющиеся волны. В случае же поверхностных волн такое разделение на две независимые части оказывается (благодаря наличию граничных условий) невозможным. Вектор смещения и должен быть определенной линейной комбинацией векторов По поводу этих последних надо также отметить, что они отнюдь не имеют теперь наглядного смысла параллельных и перпендикулярных к направлению распространения компонент смещения.

Для определения линейной комбинации векторов дающей истинное смещение и, надо обратиться к предельным условиям на границе тела. Отсюда же определится связь между волновым вектором k и частотой , а следовательно, и скорость распространения волны. На свободной поверхности должно выполняться условие . Поскольку вектор нормали направлен по оси , то отсюда следуют условия

откуда

Поскольку все величины не зависят от координаты у, то второе из этих условий дает

С учетом (24,3) отсюда следует

Таким образом, в поверхностной волне вектор деформации и лежит в плоскости, проведенной через направление распространения перпендикулярно к поверхности.

«Поперечная» часть волны должна удовлетворять условию (22,8) , или

Ввиду (24,3) это условие приводит к равенству

определяющему отношение Таким образом, имеем

где a — постоянная.

«Продольная» часть удовлетворяет условию (22,9) , или

откуда

Таким образом, должно быть

где b — постоянная.

Теперь воспользуемся первым и третьим из условий (24,4). Выражая через производные от и вводя скорости переписываем эти условия в виде

Сюда надо подставить

В результате первое из условий (24,8) дает уравнение

Второе приводит к равенству

или

(24,10)

Условие совместности двух однородных уравнений (24,9) и (24,10) дает

или, возведя в квадрат и подставив значения

Этим уравнением определяется связь между . Очевидно, что ; для определения коэффициента пропорциональности. напишем это соотношение в виде

(24,12)

Тогда общий множитель сокращается и, раскрыв скобки, получим для уравнение

(24,13)

Отсюда видно, что число зависит только от отношения являющегося некоторой характерной для каждого данного вещества постоянной и зависящего в свою очередь только от коэффициента Пуассона

Величина должна быть, разумеется, вещественной положительной, причем (так, чтобы небыли вещественны).

Уравнение (24,13) имеет только один корень, удовлетворяющий этим условиям, так что для каждого данного значения получается всего одно определенное значение

Таким образом, для поверхностных волн, как и для объемных, частота пропорциональна волновому вектору. Коэффициент пропорциональности между ними есть скорость распространения волны

(24,14)

Этим определяется скорость распространения поверхностных волн через скорости поперечных и продольных объемных волн. Отношение амплитуд поперечной и продольной частей волны определяется по значению формулой

Рис. 21

Отношение фактически меняется для различных веществ в пределах от до , что соответствует изменению а от 0 до 1/2; при этом меняется от 0,874 до 0,955. На рис. 21 дан график зависимости от .