Задачи

1. Написать дифференциальные уравнения равновесия для дислокационной деформации в изотропной среде, выраженные через вектор смещения.

Решение. В терминах тензора напряжений или тензора деформации уравнения равновесия имеют обычный вид: или, подставив из (5,11):

Но при переходе к вектору и надо учесть дифференциальное условие (27,6). Умножив (27,6) на и упростив по i, к, получим

Переписав (1) в виде

и подставив сюда (2), находим

Переходя теперь к , согласно (27,2), находим искомое уравнение для неоднозначной функции в виде

Решение этого уравнения должно удовлетворять условию (27.1).

2. Определить деформацию вокруг прямолинейной винтовой дислокация в изотропной среде.

Решение. Выбираем цилиндрические координаты с осью вдоль линии дислокации; вектор Бюргерса: Из соображений симметрии очевидно, что смещение а параллельно оси 2 и не зависит от координаты . Уравнение равновесия (3) задачи 1 сводится к Решение, удовлетворяющее условию (27,1):

У тензоров отличны от нуля лишь компоненты

так что деформация представляет собой чистый сдвиг.

Свободная энергия дислокации (на единицу ее длины) дается интегралом

логарифмически расходящимся на обоих пределах.

В качестве нижнего предела следует взять величину порядка атомных расстояний на которых деформация велика и макроскопическая теория неприменима. Верхний же предел определяется размерами порядка длины L дислокации. Тогда

Энергию же деформации в «сердцевине» дислокации вблизи ее оси (в области с площадью сечения ) можно оценить как При эта энергия мала по сравнению с энергией поля упругой деформации.

3. Определить внутренние напряжения в анизотропной среде вокруг винтовой дислокации, перпендикулярной плоскости симметрии кристалла.

Решение. Выбираем систему координат так, чтобы ось совпадала с линией дислокации (и снова пишем ). Вектор и опять имеет лишь компоненту . Так как плоскость у является плоскостью симметрии, то равны нулю все компоненты тензора , у которых индекс встречается нечетное число раз. Поэтому отличны от нуля только две компоненты тензора

Введем двухмерные вектор и тензор Тогда

а уравнение равновесия записывается в виде Искомое решение этого уравнения должно удовлетворять условию (27,1);

В таком виде задача совпадает с задачей о нахождении индукции и напряженности магнитного поля (роль которого играют ) в анизотропной среде (с магнитной проницаемостью ) вокруг прямолинейного тока, сила которого . Воспользовавшись известным из электродинамики решением этой задачи, найдем

где — определитель тензора (см. VIII, задача 5 к § 30).

4. Определить деформацию вокруг прямолинейной краевой дислокации в изотропной среде.

Решение. Пусть ось z направлена вдоль линии дислокации, а вектор Бюргерса: Из симметрии задачи очевидно, что вектор деформации лежит в плоскости у и не зависит от , так что мы имеем дело с плоской задачей. Ниже в этой задаче все векторы и векторные операции — двухмерные в плоскости х, у.

Будем искать решение уравнения

(см. задачу 1; j — единичный вектор вдоль оси у) в виде где — вектор с составляющими

(мнимая и вещественнаячасти от ) — полярные координаты в плоскости х, у. Этот вектор удовлетворяет условию (27,1). Поэтому задача сводится к нахождению однозначной функции w. Поскольку, как легко убедиться,

то w удовлетворяет уравнению

Это — уравнение равновесия под действием сил, сосредоточенных вдоль оси z с объемной плотностью

(ср. уравнение (1) в задаче к § 8). С помощью найденного в той же задаче тензора Грина для неограниченной среды нахождение w сводится к вычислению интеграла

В результате получим

Вычисленный отсюда тензор напряжений имеет декартовы компоненты

или полярные

где обозначено

5. Бесконечное число одинаковых параллельных прямолинейных краевых дислокаций в изотропной среде расположены в одной плоскости, перпендикулярной их векторам Бюргерса, на одинаковых расстояниях h друг от друга. Найти напряжения сдвига, создаваемые такой «дислокационной стенкой» на расстояниях, больших по сравнению с .

Решение. Пусть дислокации параллельны оси и расположены в плоскости . Согласно результатам задачи 4 суммарное напряжение, создаваемое всеми дислокациями в точке х, у, дается суммой

Перепишем эту сумму в виде

где

Согласно формуле суммирования Пуассона

найдем

При в сумме по k можно оставить лишь первый член, и в результате получим

Таким образом, напряжения убывают при удалении от стенки по экспоненциальному закону.

6. Определить деформацию изотропной среды вокруг дислокационной петли (J. М. Burgers, 1939).

Решение. Исходим из формулы (27,10). Тензор Для изотропной среды согласно (5.9) и (5.11) может быть представлен в виде

Тензор Грина для изотропной среды найден в задаче к § 8 и может быть представлен как

Здесь — радиус-вектор от элемента (в точке ) к точке наблюдения деформации (точка ); — единичный вектор в этом направлении. Подставив эти выражения в (27,10) и произведя под интегралом требуемые дифференцирования, получим после вычисления

Стоящие здесь интегралы можно выразить через интегралы по контуру D — по петле дислокации. Для этого замечаем следующие формулы:

Интегралы в правых частях равенств получаются из контурных интегралов в левой стороне применением теоремы Стокса, согласно которой преобразование осуществляется заменой (где ); поскольку подынтегральное выражение зависит только от разности , это преобразование эквивалентно замене (где ). Введем также телесный угол , под которым петля D видна из точки наблюдения, согласно определению

Тогда поле смещений представится в виде

Неоднозначность этой функции заключена в первом члене — угол меняется на при обходе вокруг линии

Вдали от петли выражение (1) сводится к

Эту формулу можно было бы получить и непосредственно из (27,11-12).