Задачи

1. Определить коэффициент затухания продольных собственных колебаний стержня.

Решение. Коэффициент затухания колебаний со временем определяется как

амплитуда колебаний убывает со временем пропорционально

В продольной волне в каждом малом участке стержня происходит простое растяжение или сжатие; компоненты тензора деформации

Для пишем где

Вычисления, аналогичные приведенным в тексте, приводят к следующему выражению для коэффициентов затухания:

Вместо мы ввели здесь скорости согласно формулам (22,4).

2. То же для продольных колебаний пластинки.

Решение. Для волн с направлением колебаний, параллельным направлению волны (оси х), имеем следующие отличные от нуля компоненты тензора деформации:

(см. (13,1)). Скорость распространения этих волн равна

Вычисление приводит к результату:

Для волн с направлением колебаний, перпендикулярным направлению волны, и затухание обусловлено одной только вязкостью . Коэффициент затухания для таких случаев всегда определяется формулой

К этим случаям относится также и затухание крутильных колебаний в стержню.

3. Определить коэффициент затухания поперечных собственных колебаний стержня (с частотами, удовлетворяющими условию — толщина стержня).

Решение. Основную роль в затухании играет теплопроводность. Согласно § 17 имеем в каждом элементе объема стержня

(изгиб в плоскости ); при колебания адиабатичны.

При слабом изгибе радиус кривизны так что

(штрих означает дифференцирование по ). Наиболее быстрое изменение температура испытываете направлении поперёк стержня; поэтому . С помощью (34,1) и (34,2) получаем для средней диссипации энергии во всем стержне

( — площадь сечения стержня). Среднюю полную энергию можно найти как удвоенную потенциальную энергию:

Окончательно получим для коэффициента затухания

4. То же для поперечных колебаний пластинки.

Решение, Согласно (11,4) имеем в каждом элементе объема пластинки

(изгиб в плоскости, ). Диссипацию энергии находим по формулам (34,1) и (34,2), а полную среднюю энергию — удваивая выражение (11,6). Коэффициент затухания равен

5. Определить изменение собственных частот поперечных колебаний стержня, связанное с неадиабатичностью колебаний. Стержень имеет форму длинной пластинки толщины h. Поверхность стержня предполагается теплоизолированной.

Решение. Пусть есть распределение температуры в стержне при адиабатических колебаниях, а — истинное распределение температуры в нем — координата вдоль толщины стержня; изменением температуры вдоль плоскости пренебрегаем как более медленным). Поскольку при теплообмен между отдельными участками тела отсутствует, ясно, что уравнение теплопроводности должно иметь вид

При периодических колебаниях с частотой отклонения температуры от своего равновесного значения пропорциональны и мы имеем

(штрих означает дифференцирование по ). Поскольку согласно (34,2), пропорционально а компоненты пропорциональны (см. § 17), то — где А — постоянная, которую нет надобности вычислять (она выпадает из окончательного ответа).

Решение уравнения

с граничным условием при (поверхность стержня теплоизолирована) есть

Момент сил внутренних напряжений в изогнутом стержне (изгиб в плоскости ) складывается из изотермической части Мувз (момент при изотермическом изгибе) и из части, связанной с неравномерной нагретостью стержня. Если есть момент при адиабатическом изгибе, то при не вполне адиабатическом процессе дополнительная часть момента уменьшается по сравнению с величиной в отношении

Определяя при произвольной частоте модуль Юнга как коэффициент пропорциональностимежду. (см. (17,8)) и замечая, что (см. (6,8); Е — изотермический модуль Юнга), можем написать:

Вычисление дает для выражение

При «о получаем, как и должно было быть, так что а при .

Частоты собственных колебаний пропорциональны корню из модуля Юнга (см. задачи 4—6 § 25). Поэтому имеем

где — значения собственных частот при полной адиабатичности колебаний. Это комплексно. Разделяя действительную и мнимую части ), получаем окончательно для собственной частоты

и для коэффициента затухания

где введено обозначение

При больших значениях частота стремится, как и следовало, к а коэффициент затухания и

в согласии с результатом задачи 3.

Малые же значения соответствуют почти изотермическим условиям; в этом случае

а коэффициент затухания