Задачи

1. Привести к квадратурам задачу об определении формы стержня кругового сечения (упругого прута), сильно изогнутого в одной плоскости приложенными к нему сосредоточенными силами.

Решение. Рассматриваем участок стержня между точками приложения сил; на таком участке . Выберем плоскость изгиба в качестве плоскости х, у, а ось у — параллельно силе F. Вводим угол между касательной к линии стержня и осью у.

Тогда где x, у — координаты точек стержня. Раскрывая векторные произведения в , получаем уравнение для 0 как функции длины дуги l

Первое интегрирование дает

и отсюда

Функция может быть выражена отсюда через эллиптические функции. Для координат получаем

Момент M (19,9) направлен по оси и равен

Рис. 15

2. Определить форму сильно изогнутого стержня, конец которого заделан, а к другому, свободному, приложена сила f; направление f перпендикулярно к прямой ведеформироваиного стержня (рис. 15). Решение. На всей длине стержня На заделанном конце а на свободном (, где L — длина стержня) Вводя обозначение , имеем в

Отсюда получаем уравнение, определяющее 09:

Форма стержня определяется формулами

3. То же, если сила f, приложенная к свободному концу, направлена раллельно линии недеформированного стержня.

Решение. Имеем (оси координат выбраны указанным на рис. 16 образом). Граничные условия: при при Имеем

где определяется из Для получаем

При слабом изгибе и можно написать:

т. е. выпадает из этого соотношения. Это показывает, в согласии с результатом задачи 3 § 21, что рассматриваемое решение существует только при т. е. после потери устойчивости прямолинейной формой.

4. То же, если оба конца стержня оперты, а к его еередине приложена сила f; расстояние между точками опоры есть

Рис. 16

Рис. 17

Решение, Выбираем оси координат указанным на рис. 17 образом. Сила F постоянна на каждом из участков АВ и ВС, причем на каждом из них перпендикулярна к линии стержня в точках опоры — соответственно А и С. Разность значений F на АВ и ВС равна f, откуда заключаем, что на АВ где — угол между осью у и линией АС. В точке имеем условия так что на АВ

Угол определяется из условия, что проекция длины АВ на прямую АС должна быть равна откуда имеем

При некотором определенном значении лежащем между 0 и производная рассматривается как функция от обращается в нуль и делается положительной. Дальнейшему уменьшению т. е. увеличению прогиба, соответствовало бы уменьшение Это значит, что найденное решение делается неустойчивым; стержень «проваливается» между опорами.

5. Привести к квадратурам задачу о пространственном сильном изгибе стержня под действием сосредоточенных сил.

Решение. Рассматриваем участок стержня между точками приложения сил, на котором . Интегрируя (19,10), получаем

постоянная интегрирования написана в виде вектора направленного вдоль F, поскольку надлежащим выбором начала координат, т. е. прибавлением к некоторого постоянного вектора, можно исключить аддитивный вектор, перпендикулярный к F. Умножая (1) скалярно и векторно на (штрих означает дифференцирование по I) и замечая, что (поскольку получаем

В компонентах (ось выбрана по направлению )

Вводя в этих уравнениях цилиндрические координаты , получаем

Из второго уравнения имеем

где А — постоянная. Комбинируя (2) и (3) с тождеством

получаем

после чего из (2) и (3) находим

чем и определяется форма изогнутого стержня,

6. Стержень кругового сечения подвергнут кручению (угол кручения ) и изогнут в винтовую линию. Определить силу и момент сил, которые должны быть приложены к концам стержня для того, чтобы удерживать его в таком состоянии.

Решение.

Пусть R — радиус цилиндра, на поверхности которого навита винтовая линия (ось выбираем по оси этого цилиндра), а — угол между касательной к линии и плоскостью, перпендикулярной к оси ; шаг винтовой линии h связан с а и R посредством . Уравнения винтовой линии:

( — угол поворота вокруг оси ); элемент длины дуги . Подставляя эти выражения в (19,7), вычисляем компоненты вектора М, а затем по формуле (19,3) — силу F (постоянную вдоль всей длины стержня). В результате находим, что сила F направлена по оси и равна

Момент М имеет составляющую по оси :

и составляющую направленную в каждой точке стержня по касательной к окружности поперечного сечения цилиндра, равную

7. Определить форму гибкой нити (сопротивлением которой на изгиб можно пренебречь по сравнению с сопротивлением на растяжение), подвешенной за две точки в поле тяжести.

Решение, Выбираем плоскость, в которой расположена нить, в качестве плоскости у с осью у, направленной вертикально вниз. В уравнении (19,3) можно пренебречь членом поскольку М пропорционально . Тогда т. е. F направлено в каждой точке нити по t и можно написать

Уравнение (19,2) дает теперь

( — вес единицы длины нити), откуда

Отсюда имеем так что

(где ). Интегрирование дает

откуда

т. е. нить имеет форму цепной линии. Выбор начала координат и постбятай А определяются тем, что кривая должна пройти через две заданные точки и должна иметь заданную длину.