§ 7. Уравнения равновесия изотропных тел

Выведем теперь уравнения равновесия изотропных твердых тел. Для этого надо подставить в общие уравнения (2,7)

выражение (5,11) для тензора напряжений. Имеем

Подставляя сюда получим уравнения равновесия в виде

Эти уравнения удобно переписать в векторных обозначениях. В этих обозначениях величины являются компонентами вектора . Таким образом, уравнения равновесия приобретают вид

Иногда бывает удобным писать это уравнение в несколько ином виде, воспользовавшись известной формулой векторного анализа

Тогда (7,2) приобретает вид

Мы пишем уравнения равновесия в однородном поле сил тяжести, имея в виду, что последние являются наиболее обычными в теории упругости объемными силами. При наличии каких-либо иных объемных сил вектор в правой стороне уравнения должен быть заменен соответствующей другой плотностью объемных сил.

Наиболее существен случай, когда деформация вызывается не объемными силами, а силами, приложенными к поверхности тела. Тогда уравнение равновесия гласит

или в другом виде

Внешние силы входят в решение только через посредство граничных условий.

Применяя к уравнению (7,4) операцию и помня, что находим

(7,6)

т. е. величина и (определяющая изменение объема при деформации) является гармонической функцией. Применяя же к уравнению (7,4) оператор Лапласа А, получим теперь

т. е. в равновесии вектор деформации удовлетворяет бигармоническому уравнению. Эти результаты остаются в силе и в однородном поле тяжести (при операциях дифференцирования правая сторона уравнения (7,2) исчезает), но они несправедливы в общем случае переменных вдоль тела объемных внешних сил.

Тот факт, что вектор деформации удовлетворяет бигармоническому уравнению, не означает, разумеется, что общий интеграл уравнений равновесия (при отсутствии объемных сил) есть произвольная бигармоническая векторная функция; следует помнить, что функция должна в действительности удовлетворять еще и дифференциальному уравнению более низкого порядка (7,4). В то же время оказывается возможным выразить общий интеграл уравнений равновесия через производные от произвольного бигармонического вектора (см. задачу 10).

Если тело неравномерно нагрето, то в уравнении равновесия должен быть добавлен дополнительный член.

В тензоре напряжений должен быть учтен член — (см. (6,2)) и соответственно в возникает член

В результате получаем уравнения равновесия в виде

Остановимся на частном случае плоской деформации, при которой во всем теле одна из компонент вектора смещения равна нулю а компоненты их, зависят только от х, у. При этом тождественно обращаются в нуль компоненты тензора деформации, а с ними и компоненты тензора напряжений (но не продольное напряжение существование которого должно обеспечить постоянство длины тела вдоль оси ).

Поскольку все величины не зависят от координаты , то уравнения равновесия (при отсутствии внешних объемных сил) сводятся в данном случае к двум уравнениям:

Наиболее общим видом функций удовлетворяющих этим уравнениям, является

где — произвольная функция от х и у. Легко получить уравнение, которому должна удовлетворять эта функция. Такое уравнение должно существовать в силу того, что три величины выражаются в действительности всего через две величины и потому не являются независимыми. С помощью формул (5,13) найдем для плоской деформации

Но

и поскольку и есть, согласно (7,6), гармоническая функция, то мы заключаем, что функция удовлетворяет уравнению

т. е. является бигармонической. Функцию называют функцией напряжений.

После того как плоская задача решена и функция известна, продольное напряжение определяется непосредственно по формуле

или