§ 25. Колебания стержней и пластинок

Волны, распространяющиеся в тонких пластинках и стержнях, существенно отличаются от волн, распространяющихся в среде, неограниченной во всех направлениях. При этом речь идет о волнах, длина которых велика по сравнению с толщиной стержня или пластинки. В обратном предельном случае длин волн, малых по сравнению с этой толщиной, стержень или пластинку можно было бы вообще рассматривать как неограниченные во всех направлениях, и мы получили бы снова соотношения, имевшие место в неограниченных средах.

Необходимо различать волны, в которых колебания происходят параллельно оси стержня или плоскости пластинки, от волн с перпендикулярными колебаниями. Начнем о изучения продольных волн в стержнях.

Продольная деформация стержня (однородная вдоль его сечения), на боковую поверхность которого не действуют никакие внешние силы, представляет собой простое растяжение или сжатие. Таким образом, продольные волны в стержне представляют собой распространяющиеся вдоль его длины простые растяжения или сжатия. Но при простом растяжении отлична от нуля только компонента тензора напряжений (ось — вдоль длины стержня), связанная с тензором деформации посредством (см. § 5)

Подставляя это в общее уравнение движения

находим

Это есть уравнение продольных колебаний в стержнях. Мы видим, что оно имеет вид обычного волнового уравнения. Скорость распространения продольных волн в стержнях оказывается равной

Сравнив ее с выражением (22,4) для видим, что она меньше скорости распространения продольных волн в неограниченной среде.

Перейдем теперь к продольным волнам в тонких пластинках. Уравнения движения для таких колебаний можно написать сразу, подставив в уравнениях равновесия (13,4) — вместо

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х, т. е. волну, в которой деформация зависит только от координаты х, но не от у. Тогда уравнения (25,3) сильно упрощаются и принимают вид

Мы получаем, таким образом, опять простые волновые уравнения. Стоящие в них коэффициенты различны для их и Скорость распространения волны с колебаниями, параллельными направлению распространения (их), равна

Скорость же волны с колебаниями, перпендикулярными направлению распространения (но по-прежнему лежащими в плоскости пластинки), равна скорости поперечных волн в неограниченной среде.

Мы видим, таким образом, что продольные волны в стержнях и пластинках обладают таким же характером, как и волны в неограниченной среде, отличаясь лишь величиной своей скорости, по-прежнему не зависящей от частоты. Совсем иные соотношения получаются для волн изгиба в пластинках и стержнях, при которых колебания происходят в направлении, перпендикулярном к оси стержня или плоскости пластинки, т. е. сопровождаются их изгибом.

Уравнения свободных колебаний пластинки можно написать непосредственно на основании уравнения равновесия (12,5). Для этого надо заменить в нем — Р произведением ускорения на массу приходящуюся на единицу площади поверхности пластинки. Таким образом, получаем

( — двухмерный оператор Лапласа).

Рассмотрим монохроматическую упругую волну, соответственно чему будем искать решение уравнения (25,6) в виде

(25,7)

(волновой вектор к имеет, конечно, всего две компоненты ).

Подстановка в (25,6) приводит к уравнению

Отсюда получаем следующее соотношение между частотой и, волновым вектором волны:

Таким образом, частота оказывается пропорциональной квадрату абсолютной величины волнового вектора, в то время как в волнах в неограниченной среде она пропорциональна первой ее степени.

Зная закон дисперсии волн, можно найти скорость их распространения согласно формуле (23,4). В данном случае находим

Таким образом, скорость распространения волн изгиба по пластинке пропорциональна волновому вектору, а не постоянна, как для волн в неограниченной трехмерной среде.

Аналогичные результаты справедливы и для волн изгиба тонких стержней; колебания изгиба предполагаются малыми. Уравнения движения получим, заменив в уравнениях равновесия слабо изогнутого стержня (20,4) силы произведениями ускорений X, Y на массу единицы длины стержня (S — площадь его сечения). Таким образом,

(25,10)

Решение этих уравнений снова ищем в виде

и находим следующий закон дисперсии:

для колебаний вдоль осей х и у. Соответствующие скорости распространения:

(25,12)

Наконец, рассмотрим крутильные колебания стержня. Уравнение движения стержня, подвергаемого деформации кручения, получается приравниванием выражения (см. § 16, 18) производной по времени от момента импульса единицы длины стержня.

Этот момент равен где — угловая скорость вращения — угол поворота данного сечения), а

— момент инерции сечения стержня относительно его центра инерции (при чисто крутильных колебаниях каждое сечение совершает вращательные колебания вокруг оси инерции стержня, остающейся неподвижной). Написав , находим уравнение движения в виде

Отсюда видно, что скорость распространения крутильных колебаний вдоль стержня равна

(25,14)