§ 99. Конечная точка складки первого рода

Итак, при малых х и у

или

Допустим, что все три коэффициента отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов обращается в нуль, то такой случай требует специального рассмотрения. Этих случаев мы рассматривать не станем.

Поскольку член с отличен от нуля, то в первом приближении можно пренебречь более высокими степенями и произведениями на любую положительную степень у. Будем также пренебрегать всеми членами, в которых или множатся на любые положительные степени или Тогда должны быть сохранены именно те три члена, которые и фигурируют в формуле (132).

Коэффициенты с, d и зависят в каждом отдельном случае от формы поверхности.

Далее, касательная плоскость к поверхности, построенная в конечной точке складки, либо пересекает поверхность, либо имеет с поверхностью одну общую точку, т. е. саму точку касания. Мы ограничимся последним случаем, так называемой конечной точки «первого рода». Примем также, что z = 0 лишь в начале координат, т. е. уравнение

не имеет других корней, кроме х = 0, у = 0. Достаточным условием этого служит неравенство

Не ограничивая общности рассуждении, можно с считать положительным, для этого нужно лишь направить в соответствующую сторону ось z. Согласно неравенству (133) при также и . Коэффициент d можно сделать большим нуля путем соответствующего выбора положительного направления оси х.

Постараемся уяснить себе форму -поверхности. Для этого исследуем сечения ее плоскостями, параллельными плоскости ху, при весьма малых положительных z; положительных потому, что при сечения будут мнимыми.

Кривая, получаемая в таком сечении, называется индикатрисой.

Рис. 23

Уравнение ее имеет вид

Первое из двух уравнений определяет проекцию кривой на плоскость и может быть записано так:

Парабола

служит как бы «осью» кривой (134), поскольку точки кривой можно получить, откладывая на прямых, параллельных оси два равных отрезка по обе стороны от каждой точки параболы.

При у = 0 этот отрезок равен с возрастанием у длина его уменьшается и при некотором значении у обращается в нуль; это случится при (рис. 23), где

Проекция индикатрисы симметрична, таким образом, по отношению к оси х. Теперь мы можем составить себе представление и о кривой АКВ — половине проекции индикатрисы при . В точке К с ординатой лежащей, следовательно, на параболе касательная к кривой параллельна оси х.

Чем меньше тем кривая уже, в то время как парабола не меняется. ОС пропорционально , в то время как пропорционально уменьшением ОС становится весьма большим по сравнению с ОА, другими словами, ширина кривой уменьшается быстрее ее длины. В самой конечной точке складки на -поверхности уже нет кривизны вдоль оси у, а остается лишь кривизна вдоль оси так что -поверхность напоминает собой цилиндр. Особого внимания заслуживает точка D, в которой касательная параллельна оси у. Из формулы (134) находим, что

(производная 4 обозначается здесь знаком для того, чтобы не спутать знак дифференциала d с коэффициентом d). Итак, обращается в нуль при у = 0 и при

Первый корень не дает нам ничего нового. Второй корень дает ординаты у точки D и точки Е, симметричной с D по отношению к оси т. е.

Ордината точки D несколько меньше ординаты точки К, ибо [уравнение (133)]. Абсцисса точки D

При убывании отношение монотонно возрастает, откуда видно, что по мере приближения к касательной плоскости кривые, полученные в сечении -поверхности плоскостью все более суживаются.