§ 69. Смешение и разделение двух газов

Вообразим себе три горизонтальных слоя А, В и С нашего газового столба, причем слой В расположен выше А, а А — выше С. Всегда возмжно получить любое количество смеси состава А, смешав некоторый объем из слоя С с объемом из слоя В. Обратно, любое количество смеси состава А можно разложить на две смеси с составом В и С.

Это смешивание и разделение двух газов можно осуществить и обратимым путем, укрепив в А, В и С горизонтальные трубы. Тот конец каждой такой трубы, который выходит из газового столба наружу, закрывается поршнем. Будем теперь в слоях В и С вдвигать поршни внутрь, двигая их, скажем, слева направо, а в точке А, наоборот, будем выдвигать поршень наружу, т. е. справа налево. Тогда в В и С некоторые массы газа уйдут из столба, а в А, наоборот, поступит какой-то объем смеси. Мы примем, что в каждой такой трубе содержится некоторая масса смеси того же самого состава, что и горизонтальный слой газового столба, с которым сообщатся данная труба.

Пусть далее, характеризуют смесь — смесь В и — смесь С. Положим

Тогда

и

Пусть, далее, в единице объема смеси А содержится такое же количество обоих газов, что и в объеме смеси В и объеме смеси С, вместе взятых.

Значения определятся тогда из уравнений

Отсюда следует, что

Разделим теперь смесь каким-либо обратимым путем и подсчитаем затраченную работу.

Введем в А единицу объема смеси, а из В и выведем, соответственно, объемы

Вся работа, затраченная при этом процессе, равна

подставляя сюда значения видим, что эта работа равна нулю.

Здесь имеется некоторая тонкость: смеси В и на которые распалась смесь А, подняты на различную высоту и приобрели, таким образом, различную потенциальную энергию. Но раз работа равна нулю и температура системы постоянна, то это возможно лишь в том случае, если система отдала или получила некоторое количество теплоты. Зная изменение потенциальной энергии, найдем количество теплоты, сообщенное системе, а отсюда и изменение энтропии.

Приращение потенциальной энергии составит

но оно равно количеству теплоты, сообщенному системе, так что приращение энтропии будет равно

На такую величину сумма энтропий объема смеси В и объема смеси С больше энтропии единицы объема смеси А. Отсюда можно найти объемы смесей В и С, сумма энтропий которых равна энтропии единицы объема смеси А; для этого доведем объемы смесей В и С обратимым изотермическим путем до объемов и сумму приращений энтропий обеих смесей при этом процессе приравняем выражению (75), взятому с обратным знаком.

Приращение энтропии для смеси В составит

а для С —

так что

Подставим в уравнение (76) выражение для давлений через плотности

и

тогда каждый член уравнения (76) будет содержать множителем или . Но независимы друг от друга, поэтому коэффициенты при в правой и левой частях уравнения по отдельности равны друг другу. Заменяя их выражениями, найденными выше, имеем

откуда

Уравнению (76) удовлетворяют, конечно, и другие значения у' и у". Но для нас достаточно того, что сумма энтропий объемов смесей В и С, заданных уравнениями (77) и (78), равна энтропии смеси А, из которой эти смеси были получены.