§ 100. Индикатриса, бинодаль и спинодаль
Докажем теперь, что DE, общая касательная к нашей кривой, есть не что иное, как проекция двойной касательной к 
-поверхности, и, следовательно, касательные плоскости в точках D и Е совпадают друг с другом. Здесь D и Е — точки 
-поверхности, проекциями которых на плоскость 
служат точки D и Е.
Рассмотрим две точки, расположенные симметрично относительно оси х, т. е. те, для которых координаты х и z одинаковы, а координаты у отличаются лишь знаком.
т.е. в этих точках значения 
одинаковы, а значения 
— противоположны по знаку. Но в точках D и Е производная 
равна нулю, как в этом легко убедиться, подставив выражения для 
из формул (135) и (136).
Итак, касательные плоскости к 
-поверхности в точках D и Е совпадают друг с другом, что и требовалось доказать.
Бинодаль — геометрическое место точек D и Е. Исключив 
из формул (135) и (136), мы получим поэтому уравнение проекции бинодали на плоскость 
(эта кривая изображена пунктиром на рис. 23). Итак, уравнение проекции бинодали имеет следующий вид:
Уравнение спинодали (см. § 95):
где значения производных определяются уравнением (137). Отсюда
т. е. опять получаем параболу.
Итак, мы нашли три параболы, соприкасающиеся друг с другом в начале координат О:
I. 
«ось» или «средняя линия» индикатрисы,
II. 
бинодаль.
III. 
все 
— спинодаль.
Но 
Рис. 24
Следовательно, первая парабола отклоняется от оси у меньше, чем вторая, а вторая меньше, чем третья (рис. 24).
Что все эти три кривые суть параболы — это обстоятельство нас отнюдь не должно удивлять. Объясняется оно тем, что, разлагая z в степенной ряд, мы пренебрегали более высокими степенями х и у. По той же самой причине полученные результаты сохраняют свою силу лишь в достаточно малой окрестности конечной точки складки.
