§ 68. Смесь газов в поле силы тяжести
Рассматривая
-поверхности, мы ограничивались до сих пор лишь общими соображениями об их форме. Теперь мы разберем эти вопросы несколько подробнее с помощью теории смесей, разработанной ван-дер-Ваальсом. Вместо термодинамического потенциала используем свободную энергию.
Для определения свободной энергии смеси нужно знать ее внутреннюю энергию и энтропию. Попытаемся найти прежде всего энтропию смеси двух идеальных газов. Для этого необходимо знать прежде всего энтропию каждого газа в отдельности. Затем мы смешаем оба газа каким-либо обратимым процессом и определим таким образом разность между энтропией смеси и суммой энтропий обоих газов, взятых по отдельности.
Смешать газы обратимым путем можно с помощью внешних сил. В качестве такой внешней силы выберем, как наиболее удобную, силу тяжести и примем, в согласии с кинетической теорией, что каждый газ заполняет собой весь объем так, как будто бы другой газ совсем отсутствует. Представим себе смесь двух газов, например, водорода и кислорода, занимающую объем в виде вертикального столба. Плотности обоих газов различны, поэтому на разной высоте смесь будет иметь и разный состав.
Зависимость давления от высоты для газа, целиком заполняющего пространство, выводится в аэростатике. При этом исходят из того, что на элемент объема действуют две силы, уравновешивающие друг друга: разность давлений сверху и снизу и вес данного элемента объема.
Через
обозначим плотность и давление первого газа в некоторой точке газового столба; тогда
. Если направить ось z по вертикали вверх, то приращение давления
, соответствующее приращению высоты dz, равно
откуда
где
— плотность при
. Аналогично, для второго газа:
Поскольку
отличны друг от друга, градиенты плотности для обоих газов будут также различны.