§ 10. Коэффициент полезного действия. Универсальная функция температуры

Первое важное заключение о цикле Карно состоит в том, что отношение количеств теплоты для цикла Карно не зависит от природы рабочего вещества, а зависит только от температуры резервуаров. Поскольку отношение работы, произведенной системой, к теплоте, отданной , т. е. называется коэффициентом полезного действия, мы можем сказать короче: коэффициент полезного действия цикла Карно не зависит от природы рабочего вещества.

Чтобы доказать это, положим, что коэффициент полезного действия равен для одного вещества и — для другого. Тогда машина, работающая с первым веществом, из общего количества А тепловых единиц, взятых ею у резервуара , использует на механическую работу единиц. Пустим теперь вторую машину в обратном направлении, приводя ее в движение первой машиной. Если первая машина затратит на вторую машину работу, соответствующую тепловым единицам, то вторая машина отдаст резервуару количество теплоты А. Если то резервуар получил бы за весь цикл количество теплоты такое же количество теплоты потерял бы резервуар , а оба рабочих вещества вернулись бы, совершив круговой процесс, в начальное состояние. Таким образом, теплота перешла бы от тела с более низкой температурой к телу с более высокой температурой при отсутствии изменений во всех остальных телах, что противоречит принципу Клаузиуса.

Следовательно, не может быть больше . Аналогично поменяв ролями обе машины, т. е. положив, что первая машина совершает обратный или отрицательный, а вторая — положительный цикл Карно, мы увидим что не может быть меньше . Таким образом, единственная остающаяся возможность есть что и требовалось доказать. Отсюда следует:

Самый вид этой функции можно определить двумя путями. Во-первых, мы можем условиться измерять температуру газовым термометром, наполненным идеальным газом. Это сводится к тому, чтобы считать температуру пропорциональной произведению в соответствии с законом Бойля-Гей-Люссака Проведем цикл

Карно с идеальным газом и найдем соответствующее значение . Так как значение не зависит от природы рабочего вещества, то полученный результат будет справедлив и во всех других случаях.

Рис. 7

На рис. 7 площадь фигуры представляет собой работу, произведенную газом при изотермическом процессе АВ, площадь фигуры — работу при изотермическом процессе CD. Внутренняя энергия, которая для идеального газа зависит только от температуры, во время каждого из этих изотермических процессов меняться не будет. Отсюда, согласно первому началу, площадь фигуры изображает теплоту , а площадь , подобным же образом, теплоту . Разность этих площадей представляет значение . Но изображается также площадью фигуры ABCD. Это возможно лишь при равенстве площадей

Следовательно, работа, произведенная системой при адиабатических процессах AD и ВС, одинакова. Это можно заметить и непосредственно, вспомнив, что для адиабаты произведенная работа равна уменьшению внутренней энергии, а внутренняя энергия зависит только от температуры и поэтому эта работа одинакова для обеих адиабат.

Возвращаясь к определению возьмем уравнение для малых адиабатических изменений:

где последний член представляет изменение внутренней энергии, соответствующее изменению температуры на dT.

Но, поскольку pv = RT, отсюда получим

дифференциальное уравнение адиабаты. Таким образом, интегрируя:

и применяя это к расширению от до ,

Мы видим отсюда, что адиабатическое изменение температуры между двумя заданными ее границами всегда сопровождается изменением в определенном отношении и объема.

Для любой точки К на АВ (рис. 7) можно определить такую точку L на DC, чтобы L и К лежали на одной адиабате. Таким образом, где а зависит только от . Далее, по закону Бойля-Гей-Люссака

и потому

так что отношение давлений в двух точках адиабаты также зависит только от температур в этих точках. Следовательно, контуры площади которых изображают могут быть получены один из другого путем сжатия и растяжения вдоль осей. Чтобы перейти от первого контура ко второму, надо размеры контура по оси изменить в отношении 1 к q, а по оси в отношении Для отношения площадей, т. е. для мы найдем, таким образом, что и является искомой функцией температуры.

Итак, наш результат имеет вид

Здесь — температуры, измеренные с помощью термометра с идеальным газом, т. е. абсолютные температуры, определенные из закона для идеальных газов.